Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15732 / 17204
↖ ↑ ↗
← N 78.739938°
W136.790772°		 ← 59.64 m → N 78.739938°
W136.788025°		 →
↑
59.63 m
↓
↑
59.63 m
↓
N 78.739402°
W136.790772°		 ← 59.64 m →
3 556 m²		 N 78.739402°
W136.788025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120029449462891 y=0.131259918212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120029449462891 × 217)
    floor (0.120029449462891 × 131072)
    floor (15732.5)     		tx = 15732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131259918212891 × 217)
    floor (0.131259918212891 × 131072)
    floor (17204.5)     		ty = 17204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15732 / 17204 ti = "17/15732/17204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15732/17204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15732 ÷ 217
    15732 ÷ 131072     		x = 0.120025634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17204 ÷ 217
    17204 ÷ 131072     		y = 0.131256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.120025634765625 × 2 - 1) × π
    -0.75994873046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.38744935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131256103515625 × 2 - 1) × π
    0.73748779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31688623243655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38744935} λ = -2.38744935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31688623243655))-π/2
    2×atan(10.1440388996942)-π/2
    2×1.47253374866738-π/2
    2.94506749733476-1.57079632675     		φ = 1.37427117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38744935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.790772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37427117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.739938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15732 KachelY 17204 -2.38744935 1.37427117 -136.790772 78.739938
    Oben rechts KachelX + 1 15733 KachelY 17204 -2.38740141 1.37427117 -136.788025 78.739938
    Unten links KachelX 15732 KachelY + 1 17205 -2.38744935 1.37426181 -136.790772 78.739402
    Unten rechts KachelX + 1 15733 KachelY + 1 17205 -2.38740141 1.37426181 -136.788025 78.739402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37427117-1.37426181) × R
    9.36000000018034e-06 × 6371000     		dl = 59.6325600011489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37427117-1.37426181) × R
    9.36000000018034e-06 × 6371000     		dr = 59.6325600011489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38744935--2.38740141) × cos(1.37427117) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195262560541241 × 6371000     		do = 59.6382120475642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38744935--2.38740141) × cos(1.37426181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195271740362088 × 6371000     		du = 59.6410158011394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37427117)-sin(1.37426181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195262560541241-0.195271740362088)×R²
    abs(-2.38740141--2.38744935)×9.17982084691626e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.17982084691626e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.17982084691626e-06×40589641000000     		ar = 3556.46285577666m²