Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15731 / 19757
↖ ↑ ↗
← S 34.714524°
W  7.174072°		 ← 1 004.19 m → S 34.714524°
W  7.163086°		 →
↑
1 004.13 m
↓
↑
1 004.13 m
↓
S 34.723555°
W  7.174072°		 ← 1 004.08 m →
1 008 283 m²		 S 34.723555°
W  7.163086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480087280273438 y=0.602951049804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480087280273438 × 215)
    floor (0.480087280273438 × 32768)
    floor (15731.5)     		tx = 15731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602951049804688 × 215)
    floor (0.602951049804688 × 32768)
    floor (19757.5)     		ty = 19757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15731 / 19757 ti = "15/15731/19757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15731/19757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15731 ÷ 215
    15731 ÷ 32768     		x = 0.480072021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19757 ÷ 215
    19757 ÷ 32768     		y = 0.602935791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480072021484375 × 2 - 1) × π
    -0.03985595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12521118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602935791015625 × 2 - 1) × π
    -0.20587158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.646764649673798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12521118} λ = -0.12521118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646764649673798))-π/2
    2×atan(0.523737512939064)-π/2
    2×0.482456786599294-π/2
    0.964913573198588-1.57079632675     		φ = -0.60588275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12521118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.174072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60588275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.714524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15731 KachelY 19757 -0.12521118 -0.60588275 -7.174072 -34.714524
    Oben rechts KachelX + 1 15732 KachelY 19757 -0.12501943 -0.60588275 -7.163086 -34.714524
    Unten links KachelX 15731 KachelY + 1 19758 -0.12521118 -0.60604036 -7.174072 -34.723555
    Unten rechts KachelX + 1 15732 KachelY + 1 19758 -0.12501943 -0.60604036 -7.163086 -34.723555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60588275--0.60604036) × R
    0.000157609999999919 × 6371000     		dl = 1004.13330999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60588275--0.60604036) × R
    0.000157609999999919 × 6371000     		dr = 1004.13330999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12521118--0.12501943) × cos(-0.60588275) × R
    0.000191750000000018 × 0.821999702508413 × 6371000     		do = 1004.1871000727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12521118--0.12501943) × cos(-0.60604036) × R
    0.000191750000000018 × 0.821909935308372 × 6371000     		du = 1004.07743693776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60588275)-sin(-0.60604036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.821999702508413-0.821909935308372)×R²
    abs(-0.12501943--0.12521118)×8.97672000408356e-05×R²
    0.000191750000000018×8.97672000408356e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.97672000408356e-05×40589641000000     		ar = 1008282.66053859m²