Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1573 / 1525
↖ ↑ ↗
← S 65.730626°
E 96.503907°		 ← 8 033.93 m → S 65.730626°
E 96.679688°		 →
↑
8 022.68 m
↓
↑
8 022.68 m
↓
S 65.802776°
E 96.503907°		 ← 8 011.48 m →
64 363 601 m²		 S 65.802776°
E 96.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768310546875 y=0.744873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768310546875 × 211)
    floor (0.768310546875 × 2048)
    floor (1573.5)     		tx = 1573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744873046875 × 211)
    floor (0.744873046875 × 2048)
    floor (1525.5)     		ty = 1525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1573 / 1525 ti = "11/1573/1525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1573/1525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1573 ÷ 211
    1573 ÷ 2048     		x = 0.76806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1525 ÷ 211
    1525 ÷ 2048     		y = 0.74462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76806640625 × 2 - 1) × π
    0.5361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68431091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74462890625 × 2 - 1) × π
    -0.4892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53704874941748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68431091} λ = 1.68431091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53704874941748))-π/2
    2×atan(0.215014728313403)-π/2
    2×0.211790237554783-π/2
    0.423580475109565-1.57079632675     		φ = -1.14721585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68431091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.503907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14721585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.730626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1573 KachelY 1525 1.68431091 -1.14721585 96.503907 -65.730626
    Oben rechts KachelX + 1 1574 KachelY 1525 1.68737887 -1.14721585 96.679688 -65.730626
    Unten links KachelX 1573 KachelY + 1 1526 1.68431091 -1.14847510 96.503907 -65.802776
    Unten rechts KachelX + 1 1574 KachelY + 1 1526 1.68737887 -1.14847510 96.679688 -65.802776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14721585--1.14847510) × R
    0.00125924999999993 × 6371000     		dl = 8022.68174999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14721585--1.14847510) × R
    0.00125924999999993 × 6371000     		dr = 8022.68174999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68431091-1.68737887) × cos(-1.14721585) × R
    0.00306796000000009 × 0.411027126132944 × 6371000     		do = 8033.92517542669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68431091-1.68737887) × cos(-1.14847510) × R
    0.00306796000000009 × 0.409878839145317 × 6371000     		du = 8011.48078878657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14721585)-sin(-1.14847510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411027126132944-0.409878839145317)×R²
    abs(1.68737887-1.68431091)×0.00114828698762642×R²
    0.00306796000000009×0.00114828698762642×6371000²
    0.00306796000000009×0.00114828698762642×40589641000000     		ar = 64363601.3053931m²