Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15728 / 7377
↖ ↑ ↗
← N 69.835835°
W  7.207031°		 ← 421.09 m → N 69.835835°
W  7.196045°		 →
↑
421.12 m
↓
↑
421.12 m
↓
N 69.832048°
W  7.207031°		 ← 421.17 m →
177 347 m²		 N 69.832048°
W  7.196045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479995727539062 y=0.225143432617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479995727539062 × 215)
    floor (0.479995727539062 × 32768)
    floor (15728.5)     		tx = 15728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225143432617188 × 215)
    floor (0.225143432617188 × 32768)
    floor (7377.5)     		ty = 7377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15728 / 7377 ti = "15/15728/7377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15728/7377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15728 ÷ 215
    15728 ÷ 32768     		x = 0.47998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7377 ÷ 215
    7377 ÷ 32768     		y = 0.225128173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47998046875 × 2 - 1) × π
    -0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225128173828125 × 2 - 1) × π
    0.54974365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72707061951138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12578642} λ = -0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72707061951138))-π/2
    2×atan(5.62415446529817)-π/2
    2×1.39483079320108-π/2
    2.78966158640216-1.57079632675     		φ = 1.21886526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21886526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.835835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15728 KachelY 7377 -0.12578642 1.21886526 -7.207031 69.835835
    Oben rechts KachelX + 1 15729 KachelY 7377 -0.12559468 1.21886526 -7.196045 69.835835
    Unten links KachelX 15728 KachelY + 1 7378 -0.12578642 1.21879916 -7.207031 69.832048
    Unten rechts KachelX + 1 15729 KachelY + 1 7378 -0.12559468 1.21879916 -7.196045 69.832048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21886526-1.21879916) × R
    6.60999999999579e-05 × 6371000     		dl = 421.123099999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21886526-1.21879916) × R
    6.60999999999579e-05 × 6371000     		dr = 421.123099999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12578642--0.12559468) × cos(1.21886526) × R
    0.000191740000000024 × 0.344711158445847 × 6371000     		do = 421.090719522562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12578642--0.12559468) × cos(1.21879916) × R
    0.000191740000000024 × 0.344773206344636 × 6371000     		du = 421.166515718032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21886526)-sin(1.21879916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344711158445847-0.344773206344636)×R²
    abs(-0.12559468--0.12578642)×6.20478987898854e-05×R²
    0.000191740000000024×6.20478987898854e-05×6371000²
    0.000191740000000024×6.20478987898854e-05×40589641000000     		ar = 177346.989015937m²