Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15728 / 19248
↖ ↑ ↗
← S 29.993002°
W  7.207031°		 ← 1 057.99 m → S 29.993002°
W  7.196045°		 →
↑
1 057.97 m
↓
↑
1 057.97 m
↓
S 30.002517°
W  7.207031°		 ← 1 057.89 m →
1 119 266 m²		 S 30.002517°
W  7.196045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479995727539062 y=0.587417602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479995727539062 × 215)
    floor (0.479995727539062 × 32768)
    floor (15728.5)     		tx = 15728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587417602539062 × 215)
    floor (0.587417602539062 × 32768)
    floor (19248.5)     		ty = 19248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15728 / 19248 ti = "15/15728/19248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15728/19248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15728 ÷ 215
    15728 ÷ 32768     		x = 0.47998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19248 ÷ 215
    19248 ÷ 32768     		y = 0.58740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47998046875 × 2 - 1) × π
    -0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58740234375 × 2 - 1) × π
    -0.1748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.549165122047363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12578642} λ = -0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549165122047363))-π/2
    2×atan(0.577431694186043)-π/2
    2×0.523659842192447-π/2
    1.04731968438489-1.57079632675     		φ = -0.52347664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52347664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.993002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15728 KachelY 19248 -0.12578642 -0.52347664 -7.207031 -29.993002
    Oben rechts KachelX + 1 15729 KachelY 19248 -0.12559468 -0.52347664 -7.196045 -29.993002
    Unten links KachelX 15728 KachelY + 1 19249 -0.12578642 -0.52364270 -7.207031 -30.002517
    Unten rechts KachelX + 1 15729 KachelY + 1 19249 -0.12559468 -0.52364270 -7.196045 -30.002517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52347664--0.52364270) × R
    0.000166059999999968 × 6371000     		dl = 1057.9682599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52347664--0.52364270) × R
    0.000166059999999968 × 6371000     		dr = 1057.9682599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12578642--0.12559468) × cos(-0.52347664) × R
    0.000191740000000024 × 0.866086465124141 × 6371000     		do = 1057.99004132084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12578642--0.12559468) × cos(-0.52364270) × R
    0.000191740000000024 × 0.866003440748161 × 6371000     		du = 1057.88862077392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52347664)-sin(-0.52364270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866086465124141-0.866003440748161)×R²
    abs(-0.12559468--0.12578642)×8.30243759798455e-05×R²
    0.000191740000000024×8.30243759798455e-05×6371000²
    0.000191740000000024×8.30243759798455e-05×40589641000000     		ar = 1119266.2358255m²