Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15726 / 7300
↖ ↑ ↗
← N 70.125430°
W  7.229004°		 ← 415.31 m → N 70.125430°
W  7.218017°		 →
↑
415.33 m
↓
↑
415.33 m
↓
N 70.121695°
W  7.229004°		 ← 415.39 m →
172 505 m²		 N 70.121695°
W  7.218017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479934692382812 y=0.222793579101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479934692382812 × 215)
    floor (0.479934692382812 × 32768)
    floor (15726.5)     		tx = 15726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222793579101562 × 215)
    floor (0.222793579101562 × 32768)
    floor (7300.5)     		ty = 7300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15726 / 7300 ti = "15/15726/7300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15726/7300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15726 ÷ 215
    15726 ÷ 32768     		x = 0.47991943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7300 ÷ 215
    7300 ÷ 32768     		y = 0.2227783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47991943359375 × 2 - 1) × π
    -0.0401611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12616992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2227783203125 × 2 - 1) × π
    0.554443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74183518459436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12616992} λ = -0.12616992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74183518459436))-π/2
    2×atan(5.70780869947027)-π/2
    2×1.3973579840825-π/2
    2.79471596816501-1.57079632675     		φ = 1.22391964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12616992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.229004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22391964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.125430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15726 KachelY 7300 -0.12616992 1.22391964 -7.229004 70.125430
    Oben rechts KachelX + 1 15727 KachelY 7300 -0.12597817 1.22391964 -7.218017 70.125430
    Unten links KachelX 15726 KachelY + 1 7301 -0.12616992 1.22385445 -7.229004 70.121695
    Unten rechts KachelX + 1 15727 KachelY + 1 7301 -0.12597817 1.22385445 -7.218017 70.121695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22391964-1.22385445) × R
    6.51900000001593e-05 × 6371000     		dl = 415.325490001015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22391964-1.22385445) × R
    6.51900000001593e-05 × 6371000     		dr = 415.325490001015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12616992--0.12597817) × cos(1.22391964) × R
    0.000191749999999991 × 0.339962184529729 × 6371000     		do = 415.311148137239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12616992--0.12597817) × cos(1.22385445) × R
    0.000191749999999991 × 0.340023491032665 × 6371000     		du = 415.386042567507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22391964)-sin(1.22385445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339962184529729-0.340023491032665)×R²
    abs(-0.12597817--0.12616992)×6.130650293662e-05×R²
    0.000191749999999991×6.130650293662e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.130650293662e-05×40589641000000     		ar = 172504.858946999m²