Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15725 / 6668
↖ ↑ ↗
← N 72.355790°
W  7.239990°		 ← 370.29 m → N 72.355790°
W  7.229004°		 →
↑
370.35 m
↓
↑
370.35 m
↓
N 72.352459°
W  7.239990°		 ← 370.35 m →
137 146 m²		 N 72.352459°
W  7.229004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479904174804688 y=0.203506469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479904174804688 × 215)
    floor (0.479904174804688 × 32768)
    floor (15725.5)     		tx = 15725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203506469726562 × 215)
    floor (0.203506469726562 × 32768)
    floor (6668.5)     		ty = 6668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15725 / 6668 ti = "15/15725/6668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15725/6668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15725 ÷ 215
    15725 ÷ 32768     		x = 0.479888916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6668 ÷ 215
    6668 ÷ 32768     		y = 0.2034912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479888916015625 × 2 - 1) × π
    -0.04022216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12636167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2034912109375 × 2 - 1) × π
    0.593017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.86301966683386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12636167} λ = -0.12636167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86301966683386))-π/2
    2×atan(6.44316363287007)-π/2
    2×1.41682154161791-π/2
    2.83364308323581-1.57079632675     		φ = 1.26284676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12636167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.239990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26284676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.355790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15725 KachelY 6668 -0.12636167 1.26284676 -7.239990 72.355790
    Oben rechts KachelX + 1 15726 KachelY 6668 -0.12616992 1.26284676 -7.229004 72.355790
    Unten links KachelX 15725 KachelY + 1 6669 -0.12636167 1.26278863 -7.239990 72.352459
    Unten rechts KachelX + 1 15726 KachelY + 1 6669 -0.12616992 1.26278863 -7.229004 72.352459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26284676-1.26278863) × R
    5.81299999999896e-05 × 6371000     		dl = 370.346229999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26284676-1.26278863) × R
    5.81299999999896e-05 × 6371000     		dr = 370.346229999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12636167--0.12616992) × cos(1.26284676) × R
    0.000191750000000018 × 0.303105300162517 × 6371000     		do = 370.285331561597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12636167--0.12616992) × cos(1.26278863) × R
    0.000191750000000018 × 0.303160695044846 × 6371000     		du = 370.3530041241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26284676)-sin(1.26278863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303105300162517-0.303160695044846)×R²
    abs(-0.12616992--0.12636167)×5.53948823291961e-05×R²
    0.000191750000000018×5.53948823291961e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.53948823291961e-05×40589641000000     		ar = 137146.307745958m²