Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15724 / 19812
↖ ↑ ↗
← S 35.209722°
W  7.250976°		 ← 998.08 m → S 35.209722°
W  7.239990°		 →
↑
998.08 m
↓
↑
998.08 m
↓
S 35.218698°
W  7.250976°		 ← 997.97 m →
996 114 m²		 S 35.218698°
W  7.239990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479873657226562 y=0.604629516601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479873657226562 × 215)
    floor (0.479873657226562 × 32768)
    floor (15724.5)     		tx = 15724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604629516601562 × 215)
    floor (0.604629516601562 × 32768)
    floor (19812.5)     		ty = 19812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15724 / 19812 ti = "15/15724/19812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15724/19812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15724 ÷ 215
    15724 ÷ 32768     		x = 0.4798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19812 ÷ 215
    19812 ÷ 32768     		y = 0.6046142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12655341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6046142578125 × 2 - 1) × π
    -0.209228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.65731076759021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12655341} λ = -0.12655341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.65731076759021))-π/2
    2×atan(0.51824313845483)-π/2
    2×0.478135377695209-π/2
    0.956270755390419-1.57079632675     		φ = -0.61452557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12655341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61452557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.209722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15724 KachelY 19812 -0.12655341 -0.61452557 -7.250976 -35.209722
    Oben rechts KachelX + 1 15725 KachelY 19812 -0.12636167 -0.61452557 -7.239990 -35.209722
    Unten links KachelX 15724 KachelY + 1 19813 -0.12655341 -0.61468223 -7.250976 -35.218698
    Unten rechts KachelX + 1 15725 KachelY + 1 19813 -0.12636167 -0.61468223 -7.239990 -35.218698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61452557--0.61468223) × R
    0.000156660000000031 × 6371000     		dl = 998.080860000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61452557--0.61468223) × R
    0.000156660000000031 × 6371000     		dr = 998.080860000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12655341--0.12636167) × cos(-0.61452557) × R
    0.000191739999999996 × 0.817047081401038 × 6371000     		do = 998.084729667875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12655341--0.12636167) × cos(-0.61468223) × R
    0.000191739999999996 × 0.816956745769382 × 6371000     		du = 997.974377869854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61452557)-sin(-0.61468223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.817047081401038-0.816956745769382)×R²
    abs(-0.12636167--0.12655341)×9.03356316556136e-05×R²
    0.000191739999999996×9.03356316556136e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.03356316556136e-05×40589641000000     		ar = 996114.197368531m²