Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15724 / 17193
↖ ↑ ↗
← N 78.745836°
W136.812744°		 ← 59.59 m → N 78.745836°
W136.809998°		 →
↑
59.63 m
↓
↑
59.63 m
↓
N 78.745300°
W136.812744°		 ← 59.60 m →
3 554 m²		 N 78.745300°
W136.809998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119968414306641 y=0.131175994873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119968414306641 × 217)
    floor (0.119968414306641 × 131072)
    floor (15724.5)     		tx = 15724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131175994873047 × 217)
    floor (0.131175994873047 × 131072)
    floor (17193.5)     		ty = 17193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15724 / 17193 ti = "17/15724/17193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15724/17193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15724 ÷ 217
    15724 ÷ 131072     		x = 0.119964599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17193 ÷ 217
    17193 ÷ 131072     		y = 0.131172180175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.76007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.38783284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131172180175781 × 2 - 1) × π
    0.737655639648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.31741353833237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38783284} λ = -2.38783284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31741353833237))-π/2
    2×atan(10.149389321744)-π/2
    2×1.47258521690716-π/2
    2.94517043381431-1.57079632675     		φ = 1.37437411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38783284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.812744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37437411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.745836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15724 KachelY 17193 -2.38783284 1.37437411 -136.812744 78.745836
    Oben rechts KachelX + 1 15725 KachelY 17193 -2.38778491 1.37437411 -136.809998 78.745836
    Unten links KachelX 15724 KachelY + 1 17194 -2.38783284 1.37436475 -136.812744 78.745300
    Unten rechts KachelX + 1 15725 KachelY + 1 17194 -2.38778491 1.37436475 -136.809998 78.745300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37437411-1.37436475) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dl = 59.6325599997343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37437411-1.37436475) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dr = 59.6325599997343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38783284--2.38778491) × cos(1.37437411) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195161600998472 × 6371000     		do = 59.5949426589799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38783284--2.38778491) × cos(1.37436475) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195170781007413 × 6371000     		du = 59.5977458851457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37437411)-sin(1.37436475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195161600998472-0.195170781007413)×R²
    abs(-2.38778491--2.38783284)×9.18000894156723e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.18000894156723e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.18000894156723e-06×40589641000000     		ar = 3553.88257544925m²