Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15722 / 17192
↖ ↑ ↗
← N 78.746372°
W136.818237°		 ← 59.60 m → N 78.746372°
W136.815491°		 →
↑
59.57 m
↓
↑
59.57 m
↓
N 78.745836°
W136.818237°		 ← 59.61 m →
3 551 m²		 N 78.745836°
W136.815491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119953155517578 y=0.131168365478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119953155517578 × 217)
    floor (0.119953155517578 × 131072)
    floor (15722.5)     		tx = 15722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131168365478516 × 217)
    floor (0.131168365478516 × 131072)
    floor (17192.5)     		ty = 17192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15722 / 17192 ti = "17/15722/17192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15722/17192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15722 ÷ 217
    15722 ÷ 131072     		x = 0.119949340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17192 ÷ 217
    17192 ÷ 131072     		y = 0.13116455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119949340820312 × 2 - 1) × π
    -0.760101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.38792872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13116455078125 × 2 - 1) × π
    0.7376708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31746147523199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38792872} λ = -2.38792872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31746147523199))-π/2
    2×atan(10.1498758636627)-π/2
    2×1.4725898945183-π/2
    2.94517978903661-1.57079632675     		φ = 1.37438346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38792872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.818237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37438346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.746372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15722 KachelY 17192 -2.38792872 1.37438346 -136.818237 78.746372
    Oben rechts KachelX + 1 15723 KachelY 17192 -2.38788078 1.37438346 -136.815491 78.746372
    Unten links KachelX 15722 KachelY + 1 17193 -2.38792872 1.37437411 -136.818237 78.745836
    Unten rechts KachelX + 1 15723 KachelY + 1 17193 -2.38788078 1.37437411 -136.815491 78.745836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37438346-1.37437411) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dl = 59.5688500001215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37438346-1.37437411) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dr = 59.5688500001215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38792872--2.38788078) × cos(1.37438346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195152430780161 × 6371000     		do = 59.6045755837905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38792872--2.38788078) × cos(1.37437411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195161600998472 × 6371000     		du = 59.6073764045039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37438346)-sin(1.37437411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195152430780161-0.195161600998472)×R²
    abs(-2.38788078--2.38792872)×9.17021831040032e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.17021831040032e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.17021831040032e-06×40589641000000     		ar = 3550.65944320523m²