Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15720 / 19802
↖ ↑ ↗
← S 35.119909°
W  7.294922°		 ← 999.24 m → S 35.119909°
W  7.283936°		 →
↑
999.16 m
↓
↑
999.16 m
↓
S 35.128894°
W  7.294922°		 ← 999.13 m →
998 349 m²		 S 35.128894°
W  7.283936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479751586914062 y=0.604324340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479751586914062 × 215)
    floor (0.479751586914062 × 32768)
    floor (15720.5)     		tx = 15720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604324340820312 × 215)
    floor (0.604324340820312 × 32768)
    floor (19802.5)     		ty = 19802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15720 / 19802 ti = "15/15720/19802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15720/19802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15720 ÷ 215
    15720 ÷ 32768     		x = 0.479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19802 ÷ 215
    19802 ÷ 32768     		y = 0.60430908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12732041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60430908203125 × 2 - 1) × π
    -0.2086181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.655393291605408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12732041} λ = -0.12732041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.655393291605408))-π/2
    2×atan(0.519237810552275)-π/2
    2×0.478919144623474-π/2
    0.957838289246948-1.57079632675     		φ = -0.61295804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12732041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61295804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.119909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15720 KachelY 19802 -0.12732041 -0.61295804 -7.294922 -35.119909
    Oben rechts KachelX + 1 15721 KachelY 19802 -0.12712866 -0.61295804 -7.283936 -35.119909
    Unten links KachelX 15720 KachelY + 1 19803 -0.12732041 -0.61311487 -7.294922 -35.128894
    Unten rechts KachelX + 1 15721 KachelY + 1 19803 -0.12712866 -0.61311487 -7.283936 -35.128894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61295804--0.61311487) × R
    0.000156829999999997 × 6371000     		dl = 999.163929999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61295804--0.61311487) × R
    0.000156829999999997 × 6371000     		dr = 999.163929999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12732041--0.12712866) × cos(-0.61295804) × R
    0.000191749999999991 × 0.817949869497317 × 6371000     		do = 999.239665110251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12732041--0.12712866) × cos(-0.61311487) × R
    0.000191749999999991 × 0.817859636786101 × 6371000     		du = 999.129433288596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61295804)-sin(-0.61311487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.817949869497317-0.817859636786101)×R²
    abs(-0.12712866--0.12732041)×9.02327112161094e-05×R²
    0.000191749999999991×9.02327112161094e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.02327112161094e-05×40589641000000     		ar = 998349.163019897m²