Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15720 / 19799
↖ ↑ ↗
← S 35.092945°
W  7.294922°		 ← 999.57 m → S 35.092945°
W  7.283936°		 →
↑
999.48 m
↓
↑
999.48 m
↓
S 35.101934°
W  7.294922°		 ← 999.46 m →
998 998 m²		 S 35.101934°
W  7.283936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479751586914062 y=0.604232788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479751586914062 × 215)
    floor (0.479751586914062 × 32768)
    floor (15720.5)     		tx = 15720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604232788085938 × 215)
    floor (0.604232788085938 × 32768)
    floor (19799.5)     		ty = 19799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15720 / 19799 ti = "15/15720/19799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15720/19799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15720 ÷ 215
    15720 ÷ 32768     		x = 0.479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19799 ÷ 215
    19799 ÷ 32768     		y = 0.604217529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12732041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.604217529296875 × 2 - 1) × π
    -0.20843505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.654818048809967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12732041} λ = -0.12732041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.654818048809967))-π/2
    2×atan(0.519536584287396)-π/2
    2×0.479154443431631-π/2
    0.958308886863261-1.57079632675     		φ = -0.61248744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12732041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61248744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.092945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15720 KachelY 19799 -0.12732041 -0.61248744 -7.294922 -35.092945
    Oben rechts KachelX + 1 15721 KachelY 19799 -0.12712866 -0.61248744 -7.283936 -35.092945
    Unten links KachelX 15720 KachelY + 1 19800 -0.12732041 -0.61264432 -7.294922 -35.101934
    Unten rechts KachelX + 1 15721 KachelY + 1 19800 -0.12712866 -0.61264432 -7.283936 -35.101934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61248744--0.61264432) × R
    0.000156880000000026 × 6371000     		dl = 999.482480000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61248744--0.61264432) × R
    0.000156880000000026 × 6371000     		dr = 999.482480000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12732041--0.12712866) × cos(-0.61248744) × R
    0.000191749999999991 × 0.818220510153545 × 6371000     		do = 999.570290358545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12732041--0.12712866) × cos(-0.61264432) × R
    0.000191749999999991 × 0.818130309065481 × 6371000     		du = 999.460097168973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61248744)-sin(-0.61264432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.818220510153545-0.818130309065481)×R²
    abs(-0.12712866--0.12732041)×9.02010880644566e-05×R²
    0.000191749999999991×9.02010880644566e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.02010880644566e-05×40589641000000     		ar = 998997.92670915m²