Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15719 / 6658
↖ ↑ ↗
← N 72.389059°
W  7.305908°		 ← 369.59 m → N 72.389059°
W  7.294922°		 →
↑
369.65 m
↓
↑
369.65 m
↓
N 72.385735°
W  7.305908°		 ← 369.66 m →
136 630 m²		 N 72.385735°
W  7.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479721069335938 y=0.203201293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479721069335938 × 215)
    floor (0.479721069335938 × 32768)
    floor (15719.5)     		tx = 15719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203201293945312 × 215)
    floor (0.203201293945312 × 32768)
    floor (6658.5)     		ty = 6658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15719 / 6658 ti = "15/15719/6658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15719/6658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15719 ÷ 215
    15719 ÷ 32768     		x = 0.479705810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6658 ÷ 215
    6658 ÷ 32768     		y = 0.20318603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479705810546875 × 2 - 1) × π
    -0.04058837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12751215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20318603515625 × 2 - 1) × π
    0.5936279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.86493714281866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12751215} λ = -0.12751215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86493714281866))-π/2
    2×atan(6.45553009681206)-π/2
    2×1.41711187483208-π/2
    2.83422374966417-1.57079632675     		φ = 1.26342742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12751215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.305908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26342742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.389059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15719 KachelY 6658 -0.12751215 1.26342742 -7.305908 72.389059
    Oben rechts KachelX + 1 15720 KachelY 6658 -0.12732041 1.26342742 -7.294922 72.389059
    Unten links KachelX 15719 KachelY + 1 6659 -0.12751215 1.26336940 -7.305908 72.385735
    Unten rechts KachelX + 1 15720 KachelY + 1 6659 -0.12732041 1.26336940 -7.294922 72.385735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26342742-1.26336940) × R
    5.8019999999992e-05 × 6371000     		dl = 369.645419999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26342742-1.26336940) × R
    5.8019999999992e-05 × 6371000     		dr = 369.645419999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12751215--0.12732041) × cos(1.26342742) × R
    0.000191739999999996 × 0.302551905043017 × 6371000     		do = 369.590006780944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12751215--0.12732041) × cos(1.26336940) × R
    0.000191739999999996 × 0.3026072053052 × 6371000     		du = 369.657560228582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26342742)-sin(1.26336940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302551905043017-0.3026072053052)×R²
    abs(-0.12732041--0.12751215)×5.53002621830334e-05×R²
    0.000191739999999996×5.53002621830334e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.53002621830334e-05×40589641000000     		ar = 136629.738734494m²