Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15718 / 9868
↖ ↑ ↗
← N 58.008098°
W  7.316894°		 ← 647.22 m → N 58.008098°
W  7.305908°		 →
↑
647.29 m
↓
↑
647.29 m
↓
N 58.002277°
W  7.316894°		 ← 647.33 m →
418 978 m²		 N 58.002277°
W  7.305908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479690551757812 y=0.301162719726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479690551757812 × 215)
    floor (0.479690551757812 × 32768)
    floor (15718.5)     		tx = 15718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301162719726562 × 215)
    floor (0.301162719726562 × 32768)
    floor (9868.5)     		ty = 9868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15718 / 9868 ti = "15/15718/9868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15718/9868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15718 ÷ 215
    15718 ÷ 32768     		x = 0.47967529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9868 ÷ 215
    9868 ÷ 32768     		y = 0.3011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.0406494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12770390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3011474609375 × 2 - 1) × π
    0.397705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24942735169714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12770390} λ = -0.12770390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24942735169714))-π/2
    2×atan(3.48834479066888)-π/2
    2×1.29161431304194-π/2
    2.58322862608389-1.57079632675     		φ = 1.01243230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12770390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.316894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01243230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.008098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15718 KachelY 9868 -0.12770390 1.01243230 -7.316894 58.008098
    Oben rechts KachelX + 1 15719 KachelY 9868 -0.12751215 1.01243230 -7.305908 58.008098
    Unten links KachelX 15718 KachelY + 1 9869 -0.12770390 1.01233070 -7.316894 58.002277
    Unten rechts KachelX + 1 15719 KachelY + 1 9869 -0.12751215 1.01233070 -7.305908 58.002277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01243230-1.01233070) × R
    0.000101600000000035 × 6371000     		dl = 647.293600000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01243230-1.01233070) × R
    0.000101600000000035 × 6371000     		dr = 647.293600000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12770390--0.12751215) × cos(1.01243230) × R
    0.000191750000000018 × 0.529799401044244 × 6371000     		do = 647.223742942201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12770390--0.12751215) × cos(1.01233070) × R
    0.000191750000000018 × 0.529885567604747 × 6371000     		du = 647.32900739455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01243230)-sin(1.01233070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529799401044244-0.529885567604747)×R²
    abs(-0.12751215--0.12770390)×8.6166560503087e-05×R²
    0.000191750000000018×8.6166560503087e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.6166560503087e-05×40589641000000     		ar = 418977.855437435m²