Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15716 / 19732
↖ ↑ ↗
← S 34.488448°
W  7.338867°		 ← 1 006.92 m → S 34.488448°
W  7.327881°		 →
↑
1 006.87 m
↓
↑
1 006.87 m
↓
S 34.497503°
W  7.338867°		 ← 1 006.82 m →
1 013 790 m²		 S 34.497503°
W  7.327881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479629516601562 y=0.602188110351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479629516601562 × 215)
    floor (0.479629516601562 × 32768)
    floor (15716.5)     		tx = 15716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602188110351562 × 215)
    floor (0.602188110351562 × 32768)
    floor (19732.5)     		ty = 19732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15716 / 19732 ti = "15/15716/19732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15716/19732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15716 ÷ 215
    15716 ÷ 32768     		x = 0.4796142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19732 ÷ 215
    19732 ÷ 32768     		y = 0.6021728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4796142578125 × 2 - 1) × π
    -0.040771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12808740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6021728515625 × 2 - 1) × π
    -0.204345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.641970959711792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12808740} λ = -0.12808740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.641970959711792))-π/2
    2×atan(0.526254175428127)-π/2
    2×0.484429679068964-π/2
    0.968859358137929-1.57079632675     		φ = -0.60193697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12808740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.338867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60193697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.488448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15716 KachelY 19732 -0.12808740 -0.60193697 -7.338867 -34.488448
    Oben rechts KachelX + 1 15717 KachelY 19732 -0.12789565 -0.60193697 -7.327881 -34.488448
    Unten links KachelX 15716 KachelY + 1 19733 -0.12808740 -0.60209501 -7.338867 -34.497503
    Unten rechts KachelX + 1 15717 KachelY + 1 19733 -0.12789565 -0.60209501 -7.327881 -34.497503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60193697--0.60209501) × R
    0.00015803999999997 × 6371000     		dl = 1006.87283999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60193697--0.60209501) × R
    0.00015803999999997 × 6371000     		dr = 1006.87283999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12808740--0.12789565) × cos(-0.60193697) × R
    0.000191749999999991 × 0.824240371793507 × 6371000     		do = 1006.92438961749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12808740--0.12789565) × cos(-0.60209501) × R
    0.000191749999999991 × 0.824150872920867 × 6371000     		du = 1006.81505428184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60193697)-sin(-0.60209501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824240371793507-0.824150872920867)×R²
    abs(-0.12789565--0.12808740)×8.94988726402035e-05×R²
    0.000191749999999991×8.94988726402035e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.94988726402035e-05×40589641000000     		ar = 1013789.77855878m²