Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15715 / 9632
↖ ↑ ↗
← N 77.579959°
W 93.674927°		 ← 131.38 m → N 77.579959°
W 93.669433°		 →
↑
131.37 m
↓
↑
131.37 m
↓
N 77.578778°
W 93.674927°		 ← 131.39 m →
17 260 m²		 N 77.578778°
W 93.669433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.239799499511719 y=0.146980285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.239799499511719 × 216)
    floor (0.239799499511719 × 65536)
    floor (15715.5)     		tx = 15715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146980285644531 × 216)
    floor (0.146980285644531 × 65536)
    floor (9632.5)     		ty = 9632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15715 / 9632 ti = "16/15715/9632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15715/9632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15715 ÷ 216
    15715 ÷ 65536     		x = 0.239791870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9632 ÷ 216
    9632 ÷ 65536     		y = 0.14697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.239791870117188 × 2 - 1) × π
    -0.520416259765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.63493590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14697265625 × 2 - 1) × π
    0.7060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21813621921924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63493590} λ = -1.63493590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21813621921924))-π/2
    2×atan(9.19018640129696)-π/2
    2×1.4624110237034-π/2
    2.9248220474068-1.57079632675     		φ = 1.35402572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63493590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.674927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35402572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.579959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15715 KachelY 9632 -1.63493590 1.35402572 -93.674927 77.579959
    Oben rechts KachelX + 1 15716 KachelY 9632 -1.63484002 1.35402572 -93.669433 77.579959
    Unten links KachelX 15715 KachelY + 1 9633 -1.63493590 1.35400510 -93.674927 77.578778
    Unten rechts KachelX + 1 15716 KachelY + 1 9633 -1.63484002 1.35400510 -93.669433 77.578778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35402572-1.35400510) × R
    2.06200000001378e-05 × 6371000     		dl = 131.370020000878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35402572-1.35400510) × R
    2.06200000001378e-05 × 6371000     		dr = 131.370020000878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63493590--1.63484002) × cos(1.35402572) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.215076934011791 × 6371000     		do = 131.380063455183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63493590--1.63484002) × cos(1.35400510) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.215097071398444 × 6371000     		du = 131.392364407624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35402572)-sin(1.35400510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215076934011791-0.215097071398444)×R²
    abs(-1.63484002--1.63493590)×2.01373866536292e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.01373866536292e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.01373866536292e-05×40589641000000     		ar = 17260.2095525445m²