Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15715 / 7267
↖ ↑ ↗
← N 70.248317°
W  7.349853°		 ← 412.82 m → N 70.248317°
W  7.338867°		 →
↑
412.90 m
↓
↑
412.90 m
↓
N 70.244603°
W  7.349853°		 ← 412.90 m →
170 473 m²		 N 70.244603°
W  7.338867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479598999023438 y=0.221786499023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479598999023438 × 215)
    floor (0.479598999023438 × 32768)
    floor (15715.5)     		tx = 15715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221786499023438 × 215)
    floor (0.221786499023438 × 32768)
    floor (7267.5)     		ty = 7267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15715 / 7267 ti = "15/15715/7267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15715/7267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15715 ÷ 215
    15715 ÷ 32768     		x = 0.479583740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7267 ÷ 215
    7267 ÷ 32768     		y = 0.221771240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479583740234375 × 2 - 1) × π
    -0.04083251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12827914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221771240234375 × 2 - 1) × π
    0.55645751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74816285534421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12827914} λ = -0.12827914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74816285534421))-π/2
    2×atan(5.74404034369023)-π/2
    2×1.39843037369135-π/2
    2.7968607473827-1.57079632675     		φ = 1.22606442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12827914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.349853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22606442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.248317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15715 KachelY 7267 -0.12827914 1.22606442 -7.349853 70.248317
    Oben rechts KachelX + 1 15716 KachelY 7267 -0.12808740 1.22606442 -7.338867 70.248317
    Unten links KachelX 15715 KachelY + 1 7268 -0.12827914 1.22599961 -7.349853 70.244603
    Unten rechts KachelX + 1 15716 KachelY + 1 7268 -0.12808740 1.22599961 -7.338867 70.244603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22606442-1.22599961) × R
    6.48100000000262e-05 × 6371000     		dl = 412.904510000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22606442-1.22599961) × R
    6.48100000000262e-05 × 6371000     		dr = 412.904510000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12827914--0.12808740) × cos(1.22606442) × R
    0.000191740000000024 × 0.337944369162712 × 6371000     		do = 412.82457524995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12827914--0.12808740) × cos(1.22599961) × R
    0.000191740000000024 × 0.338005365427029 × 6371000     		du = 412.899086794471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22606442)-sin(1.22599961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337944369162712-0.338005365427029)×R²
    abs(-0.12808740--0.12827914)×6.09962643169371e-05×R²
    0.000191740000000024×6.09962643169371e-05×6371000²
    0.000191740000000024×6.09962643169371e-05×40589641000000     		ar = 170472.512095172m²