Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15715 / 19244
↖ ↑ ↗
← S 29.954935°
W  7.349853°		 ← 1 058.40 m → S 29.954935°
W  7.338867°		 →
↑
1 058.35 m
↓
↑
1 058.35 m
↓
S 29.964453°
W  7.349853°		 ← 1 058.29 m →
1 120 100 m²		 S 29.964453°
W  7.338867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479598999023438 y=0.587295532226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479598999023438 × 215)
    floor (0.479598999023438 × 32768)
    floor (15715.5)     		tx = 15715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587295532226562 × 215)
    floor (0.587295532226562 × 32768)
    floor (19244.5)     		ty = 19244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15715 / 19244 ti = "15/15715/19244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15715/19244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15715 ÷ 215
    15715 ÷ 32768     		x = 0.479583740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19244 ÷ 215
    19244 ÷ 32768     		y = 0.5872802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479583740234375 × 2 - 1) × π
    -0.04083251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12827914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5872802734375 × 2 - 1) × π
    -0.174560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.548398131653442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12827914} λ = -0.12827914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.548398131653442))-π/2
    2×atan(0.577874748636164)-π/2
    2×0.523992045848786-π/2
    1.04798409169757-1.57079632675     		φ = -0.52281224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12827914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.349853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52281224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.954935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15715 KachelY 19244 -0.12827914 -0.52281224 -7.349853 -29.954935
    Oben rechts KachelX + 1 15716 KachelY 19244 -0.12808740 -0.52281224 -7.338867 -29.954935
    Unten links KachelX 15715 KachelY + 1 19245 -0.12827914 -0.52297836 -7.349853 -29.964453
    Unten rechts KachelX + 1 15716 KachelY + 1 19245 -0.12808740 -0.52297836 -7.338867 -29.964453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52281224--0.52297836) × R
    0.000166119999999936 × 6371000     		dl = 1058.35051999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52281224--0.52297836) × R
    0.000166119999999936 × 6371000     		dr = 1058.35051999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12827914--0.12808740) × cos(-0.52281224) × R
    0.000191740000000024 × 0.866418403664834 × 6371000     		do = 1058.39552932294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12827914--0.12808740) × cos(-0.52297836) × R
    0.000191740000000024 × 0.866335444890386 × 6371000     		du = 1058.29418891324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52281224)-sin(-0.52297836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866418403664834-0.866335444890386)×R²
    abs(-0.12808740--0.12827914)×8.29587744486382e-05×R²
    0.000191740000000024×8.29587744486382e-05×6371000²
    0.000191740000000024×8.29587744486382e-05×40589641000000     		ar = 1120099.83456229m²