Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15714 / 9697
↖ ↑ ↗
← N 58.989651°
W  7.360840°		 ← 629.38 m → N 58.989651°
W  7.349853°		 →
↑
629.39 m
↓
↑
629.39 m
↓
N 58.983991°
W  7.360840°		 ← 629.48 m →
396 159 m²		 N 58.983991°
W  7.349853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479568481445312 y=0.295944213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479568481445312 × 215)
    floor (0.479568481445312 × 32768)
    floor (15714.5)     		tx = 15714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295944213867188 × 215)
    floor (0.295944213867188 × 32768)
    floor (9697.5)     		ty = 9697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15714 / 9697 ti = "15/15714/9697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15714/9697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15714 ÷ 215
    15714 ÷ 32768     		x = 0.47955322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9697 ÷ 215
    9697 ÷ 32768     		y = 0.295928955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47955322265625 × 2 - 1) × π
    -0.0408935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12847089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295928955078125 × 2 - 1) × π
    0.40814208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28221619103726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12847089} λ = -0.12847089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28221619103726))-π/2
    2×atan(3.60461940527465)-π/2
    2×1.30017998568174-π/2
    2.60035997136347-1.57079632675     		φ = 1.02956364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12847089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.360840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02956364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.989651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15714 KachelY 9697 -0.12847089 1.02956364 -7.360840 58.989651
    Oben rechts KachelX + 1 15715 KachelY 9697 -0.12827914 1.02956364 -7.349853 58.989651
    Unten links KachelX 15714 KachelY + 1 9698 -0.12847089 1.02946485 -7.360840 58.983991
    Unten rechts KachelX + 1 15715 KachelY + 1 9698 -0.12827914 1.02946485 -7.349853 58.983991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02956364-1.02946485) × R
    9.87899999997932e-05 × 6371000     		dl = 629.391089998683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02956364-1.02946485) × R
    9.87899999997932e-05 × 6371000     		dr = 629.391089998683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12847089--0.12827914) × cos(1.02956364) × R
    0.000191749999999991 × 0.515192886931666 × 6371000     		do = 629.379851996504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12847089--0.12827914) × cos(1.02946485) × R
    0.000191749999999991 × 0.515277554783791 × 6371000     		du = 629.483285567874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02956364)-sin(1.02946485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515192886931666-0.515277554783791)×R²
    abs(-0.12827914--0.12847089)×8.4667852125353e-05×R²
    0.000191749999999991×8.4667852125353e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.4667852125353e-05×40589641000000     		ar = 396158.621476949m²