Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15712 / 19808
↖ ↑ ↗
← S 35.173809°
W  7.382813°		 ← 998.58 m → S 35.173809°
W  7.371826°		 →
↑
998.46 m
↓
↑
998.46 m
↓
S 35.182788°
W  7.382813°		 ← 998.47 m →
996 988 m²		 S 35.182788°
W  7.371826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479507446289062 y=0.604507446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479507446289062 × 215)
    floor (0.479507446289062 × 32768)
    floor (15712.5)     		tx = 15712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604507446289062 × 215)
    floor (0.604507446289062 × 32768)
    floor (19808.5)     		ty = 19808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15712 / 19808 ti = "15/15712/19808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15712/19808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15712 ÷ 215
    15712 ÷ 32768     		x = 0.4794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19808 ÷ 215
    19808 ÷ 32768     		y = 0.6044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    -0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6044921875 × 2 - 1) × π
    -0.208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.656543777196289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12885439} λ = -0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.656543777196289))-π/2
    2×atan(0.51864077843727)-π/2
    2×0.478448780597887-π/2
    0.956897561195774-1.57079632675     		φ = -0.61389877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61389877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.173809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15712 KachelY 19808 -0.12885439 -0.61389877 -7.382813 -35.173809
    Oben rechts KachelX + 1 15713 KachelY 19808 -0.12866264 -0.61389877 -7.371826 -35.173809
    Unten links KachelX 15712 KachelY + 1 19809 -0.12885439 -0.61405549 -7.382813 -35.182788
    Unten rechts KachelX + 1 15713 KachelY + 1 19809 -0.12866264 -0.61405549 -7.371826 -35.182788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61389877--0.61405549) × R
    0.000156719999999999 × 6371000     		dl = 998.463119999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61389877--0.61405549) × R
    0.000156719999999999 × 6371000     		dr = 998.463119999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12885439--0.12866264) × cos(-0.61389877) × R
    0.000191750000000018 × 0.817408315552303 × 6371000     		do = 998.578081555174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12885439--0.12866264) × cos(-0.61405549) × R
    0.000191750000000018 × 0.817318025592265 × 6371000     		du = 998.467779796111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61389877)-sin(-0.61405549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.817408315552303-0.817318025592265)×R²
    abs(-0.12866264--0.12885439)×9.02899600381257e-05×R²
    0.000191750000000018×9.02899600381257e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.02899600381257e-05×40589641000000     		ar = 996988.322793985m²