Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15711 / 9700
↖ ↑ ↗
← N 58.972667°
W  7.393799°		 ← 629.66 m → N 58.972667°
W  7.382813°		 →
↑
629.71 m
↓
↑
629.71 m
↓
N 58.967004°
W  7.393799°		 ← 629.76 m →
396 534 m²		 N 58.967004°
W  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479476928710938 y=0.296035766601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479476928710938 × 215)
    floor (0.479476928710938 × 32768)
    floor (15711.5)     		tx = 15711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296035766601562 × 215)
    floor (0.296035766601562 × 32768)
    floor (9700.5)     		ty = 9700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15711 / 9700 ti = "15/15711/9700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15711/9700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15711 ÷ 215
    15711 ÷ 32768     		x = 0.479461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9700 ÷ 215
    9700 ÷ 32768     		y = 0.2960205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.04107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12904613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2960205078125 × 2 - 1) × π
    0.407958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28164094824182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12904613} λ = -0.12904613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28164094824182))-π/2
    2×atan(3.60254647020911)-π/2
    2×1.30003176865239-π/2
    2.60006353730478-1.57079632675     		φ = 1.02926721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12904613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.393799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02926721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.972667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15711 KachelY 9700 -0.12904613 1.02926721 -7.393799 58.972667
    Oben rechts KachelX + 1 15712 KachelY 9700 -0.12885439 1.02926721 -7.382813 58.972667
    Unten links KachelX 15711 KachelY + 1 9701 -0.12904613 1.02916837 -7.393799 58.967004
    Unten rechts KachelX + 1 15712 KachelY + 1 9701 -0.12885439 1.02916837 -7.382813 58.967004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02926721-1.02916837) × R
    9.88399999999334e-05 × 6371000     		dl = 629.709639999576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02926721-1.02916837) × R
    9.88399999999334e-05 × 6371000     		dr = 629.709639999576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12904613--0.12885439) × cos(1.02926721) × R
    0.000191739999999996 × 0.515446926816009 × 6371000     		do = 629.657357966593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12904613--0.12885439) × cos(1.02916837) × R
    0.000191739999999996 × 0.51553162241963 × 6371000     		du = 629.760820044322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02926721)-sin(1.02916837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515446926816009-0.51553162241963)×R²
    abs(-0.12885439--0.12904613)×8.46956036211211e-05×R²
    0.000191739999999996×8.46956036211211e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.46956036211211e-05×40589641000000     		ar = 396533.884064931m²