Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15711 / 7340
↖ ↑ ↗
← N 69.975493°
W  7.393799°		 ← 418.29 m → N 69.975493°
W  7.382813°		 →
↑
418.32 m
↓
↑
418.32 m
↓
N 69.971730°
W  7.393799°		 ← 418.37 m →
174 997 m²		 N 69.971730°
W  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479476928710938 y=0.224014282226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479476928710938 × 215)
    floor (0.479476928710938 × 32768)
    floor (15711.5)     		tx = 15711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224014282226562 × 215)
    floor (0.224014282226562 × 32768)
    floor (7340.5)     		ty = 7340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15711 / 7340 ti = "15/15711/7340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15711/7340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15711 ÷ 215
    15711 ÷ 32768     		x = 0.479461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7340 ÷ 215
    7340 ÷ 32768     		y = 0.2239990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.04107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12904613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2239990234375 × 2 - 1) × π
    0.552001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73416528065515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12904613} λ = -0.12904613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73416528065515))-π/2
    2×atan(5.66419781448402)-π/2
    2×1.39604953361933-π/2
    2.79209906723866-1.57079632675     		φ = 1.22130274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12904613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.393799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22130274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.975493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15711 KachelY 7340 -0.12904613 1.22130274 -7.393799 69.975493
    Oben rechts KachelX + 1 15712 KachelY 7340 -0.12885439 1.22130274 -7.382813 69.975493
    Unten links KachelX 15711 KachelY + 1 7341 -0.12904613 1.22123708 -7.393799 69.971730
    Unten rechts KachelX + 1 15712 KachelY + 1 7341 -0.12885439 1.22123708 -7.382813 69.971730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22130274-1.22123708) × R
    6.56599999999674e-05 × 6371000     		dl = 418.319859999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22130274-1.22123708) × R
    6.56599999999674e-05 × 6371000     		dr = 418.319859999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12904613--0.12885439) × cos(1.22130274) × R
    0.000191739999999996 × 0.342422052760671 × 6371000     		do = 418.294404009016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12904613--0.12885439) × cos(1.22123708) × R
    0.000191739999999996 × 0.342483742628638 × 6371000     		du = 418.36976284279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22130274)-sin(1.22123708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342422052760671-0.342483742628638)×R²
    abs(-0.12885439--0.12904613)×6.1689867966952e-05×R²
    0.000191739999999996×6.1689867966952e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.1689867966952e-05×40589641000000     		ar = 174996.618634893m²