Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15711 / 19806
↖ ↑ ↗
← S 35.155846°
W  7.393799°		 ← 998.75 m → S 35.155846°
W  7.382813°		 →
↑
998.72 m
↓
↑
998.72 m
↓
S 35.164827°
W  7.393799°		 ← 998.64 m →
997 411 m²		 S 35.164827°
W  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479476928710938 y=0.604446411132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479476928710938 × 215)
    floor (0.479476928710938 × 32768)
    floor (15711.5)     		tx = 15711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604446411132812 × 215)
    floor (0.604446411132812 × 32768)
    floor (19806.5)     		ty = 19806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15711 / 19806 ti = "15/15711/19806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15711/19806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15711 ÷ 215
    15711 ÷ 32768     		x = 0.479461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19806 ÷ 215
    19806 ÷ 32768     		y = 0.60443115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.04107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12904613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.2088623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.656160281999329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12904613} λ = -0.12904613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.656160281999329))-π/2
    2×atan(0.518839712827502)-π/2
    2×0.4786055339913-π/2
    0.9572110679826-1.57079632675     		φ = -0.61358526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12904613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.393799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61358526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.155846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15711 KachelY 19806 -0.12904613 -0.61358526 -7.393799 -35.155846
    Oben rechts KachelX + 1 15712 KachelY 19806 -0.12885439 -0.61358526 -7.382813 -35.155846
    Unten links KachelX 15711 KachelY + 1 19807 -0.12904613 -0.61374202 -7.393799 -35.164827
    Unten rechts KachelX + 1 15712 KachelY + 1 19807 -0.12885439 -0.61374202 -7.382813 -35.164827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61358526--0.61374202) × R
    0.000156759999999978 × 6371000     		dl = 998.71795999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61358526--0.61374202) × R
    0.000156759999999978 × 6371000     		dr = 998.71795999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12904613--0.12885439) × cos(-0.61358526) × R
    0.000191739999999996 × 0.817588875546849 × 6371000     		do = 998.746572144113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12904613--0.12885439) × cos(-0.61374202) × R
    0.000191739999999996 × 0.817498602713764 × 6371000     		du = 998.63629705929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61358526)-sin(-0.61374202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.817588875546849-0.817498602713764)×R²
    abs(-0.12885439--0.12904613)×9.02728330846037e-05×R²
    0.000191739999999996×9.02728330846037e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.02728330846037e-05×40589641000000     		ar = 997411.074277744m²