Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15710 / 7260
↖ ↑ ↗
← N 70.274289°
W  7.404785°		 ← 412.32 m → N 70.274289°
W  7.393799°		 →
↑
412.33 m
↓
↑
412.33 m
↓
N 70.270581°
W  7.404785°		 ← 412.40 m →
170 030 m²		 N 70.270581°
W  7.393799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479446411132812 y=0.221572875976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479446411132812 × 215)
    floor (0.479446411132812 × 32768)
    floor (15710.5)     		tx = 15710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221572875976562 × 215)
    floor (0.221572875976562 × 32768)
    floor (7260.5)     		ty = 7260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15710 / 7260 ti = "15/15710/7260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15710/7260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15710 ÷ 215
    15710 ÷ 32768     		x = 0.47943115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7260 ÷ 215
    7260 ÷ 32768     		y = 0.2215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47943115234375 × 2 - 1) × π
    -0.0411376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12923788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2215576171875 × 2 - 1) × π
    0.556884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74950508853357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12923788} λ = -0.12923788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74950508853357))-π/2
    2×atan(5.75175536179897)-π/2
    2×1.39865703056352-π/2
    2.79731406112704-1.57079632675     		φ = 1.22651773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12923788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.404785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22651773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.274289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15710 KachelY 7260 -0.12923788 1.22651773 -7.404785 70.274289
    Oben rechts KachelX + 1 15711 KachelY 7260 -0.12904613 1.22651773 -7.393799 70.274289
    Unten links KachelX 15710 KachelY + 1 7261 -0.12923788 1.22645301 -7.404785 70.270581
    Unten rechts KachelX + 1 15711 KachelY + 1 7261 -0.12904613 1.22645301 -7.393799 70.270581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22651773-1.22645301) × R
    6.47200000001291e-05 × 6371000     		dl = 412.331120000823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22651773-1.22645301) × R
    6.47200000001291e-05 × 6371000     		dr = 412.331120000823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12923788--0.12904613) × cos(1.22651773) × R
    0.000191749999999991 × 0.337517694456332 × 6371000     		do = 412.324863117342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12923788--0.12904613) × cos(1.22645301) × R
    0.000191749999999991 × 0.337578615926993 × 6371000     		du = 412.399287177069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22651773)-sin(1.22645301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337517694456332-0.337578615926993)×R²
    abs(-0.12904613--0.12923788)×6.09214706613903e-05×R²
    0.000191749999999991×6.09214706613903e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.09214706613903e-05×40589641000000     		ar = 170029.716350963m²