Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15708 / 19718
↖ ↑ ↗
← S 34.361576°
W  7.426758°		 ← 1 008.45 m → S 34.361576°
W  7.415772°		 →
↑
1 008.40 m
↓
↑
1 008.40 m
↓
S 34.370645°
W  7.426758°		 ← 1 008.34 m →
1 016 872 m²		 S 34.370645°
W  7.415772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479385375976562 y=0.601760864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479385375976562 × 215)
    floor (0.479385375976562 × 32768)
    floor (15708.5)     		tx = 15708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601760864257812 × 215)
    floor (0.601760864257812 × 32768)
    floor (19718.5)     		ty = 19718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15708 / 19718 ti = "15/15708/19718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15708/19718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15708 ÷ 215
    15708 ÷ 32768     		x = 0.4793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19718 ÷ 215
    19718 ÷ 32768     		y = 0.60174560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12962138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60174560546875 × 2 - 1) × π
    -0.2034912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.639286493333069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12962138} λ = -0.12962138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.639286493333069))-π/2
    2×atan(0.527668784955069)-π/2
    2×0.485536842209086-π/2
    0.971073684418172-1.57079632675     		φ = -0.59972264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12962138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59972264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.361576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15708 KachelY 19718 -0.12962138 -0.59972264 -7.426758 -34.361576
    Oben rechts KachelX + 1 15709 KachelY 19718 -0.12942963 -0.59972264 -7.415772 -34.361576
    Unten links KachelX 15708 KachelY + 1 19719 -0.12962138 -0.59988092 -7.426758 -34.370645
    Unten rechts KachelX + 1 15709 KachelY + 1 19719 -0.12942963 -0.59988092 -7.415772 -34.370645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59972264--0.59988092) × R
    0.000158280000000066 × 6371000     		dl = 1008.40188000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59972264--0.59988092) × R
    0.000158280000000066 × 6371000     		dr = 1008.40188000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12962138--0.12942963) × cos(-0.59972264) × R
    0.000191750000000018 × 0.825492192398147 × 6371000     		do = 1008.45366280222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12962138--0.12942963) × cos(-0.59988092) × R
    0.000191750000000018 × 0.825402846683603 × 6371000     		du = 1008.34451457052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59972264)-sin(-0.59988092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825492192398147-0.825402846683603)×R²
    abs(-0.12942963--0.12962138)×8.93457145446641e-05×R²
    0.000191750000000018×8.93457145446641e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.93457145446641e-05×40589641000000     		ar = 1016871.53894527m²