Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15707 / 19810
↖ ↑ ↗
← S 35.191767°
W  7.437744°		 ← 998.31 m → S 35.191767°
W  7.426758°		 →
↑
998.34 m
↓
↑
998.34 m
↓
S 35.200745°
W  7.437744°		 ← 998.20 m →
996 589 m²		 S 35.200745°
W  7.426758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479354858398438 y=0.604568481445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479354858398438 × 215)
    floor (0.479354858398438 × 32768)
    floor (15707.5)     		tx = 15707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604568481445312 × 215)
    floor (0.604568481445312 × 32768)
    floor (19810.5)     		ty = 19810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15707 / 19810 ti = "15/15707/19810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15707/19810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15707 ÷ 215
    15707 ÷ 32768     		x = 0.479339599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19810 ÷ 215
    19810 ÷ 32768     		y = 0.60455322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479339599609375 × 2 - 1) × π
    -0.04132080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12981312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60455322265625 × 2 - 1) × π
    -0.2091064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.65692727239325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12981312} λ = -0.12981312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.65692727239325))-π/2
    2×atan(0.518441920322795)-π/2
    2×0.478292061829942-π/2
    0.956584123659884-1.57079632675     		φ = -0.61421220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12981312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.437744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61421220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.191767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15707 KachelY 19810 -0.12981312 -0.61421220 -7.437744 -35.191767
    Oben rechts KachelX + 1 15708 KachelY 19810 -0.12962138 -0.61421220 -7.426758 -35.191767
    Unten links KachelX 15707 KachelY + 1 19811 -0.12981312 -0.61436890 -7.437744 -35.200745
    Unten rechts KachelX + 1 15708 KachelY + 1 19811 -0.12962138 -0.61436890 -7.426758 -35.200745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61421220--0.61436890) × R
    0.00015670000000001 × 6371000     		dl = 998.335700000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61421220--0.61436890) × R
    0.00015670000000001 × 6371000     		dr = 998.335700000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12981312--0.12962138) × cos(-0.61421220) × R
    0.000191739999999996 × 0.817227721321098 × 6371000     		do = 998.305394975768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12981312--0.12962138) × cos(-0.61436890) × R
    0.000191739999999996 × 0.817137402744863 × 6371000     		du = 998.195064012232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61421220)-sin(-0.61436890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.817227721321098-0.817137402744863)×R²
    abs(-0.12962138--0.12981312)×9.03185762352043e-05×R²
    0.000191739999999996×9.03185762352043e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.03185762352043e-05×40589641000000     		ar = 996588.843676539m²