Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15707 / 19721
↖ ↑ ↗
← S 34.388779°
W  7.437744°		 ← 1 008.07 m → S 34.388779°
W  7.426758°		 →
↑
1 008.08 m
↓
↑
1 008.08 m
↓
S 34.397845°
W  7.437744°		 ← 1 007.96 m →
1 016 167 m²		 S 34.397845°
W  7.426758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479354858398438 y=0.601852416992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479354858398438 × 215)
    floor (0.479354858398438 × 32768)
    floor (15707.5)     		tx = 15707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601852416992188 × 215)
    floor (0.601852416992188 × 32768)
    floor (19721.5)     		ty = 19721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15707 / 19721 ti = "15/15707/19721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15707/19721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15707 ÷ 215
    15707 ÷ 32768     		x = 0.479339599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19721 ÷ 215
    19721 ÷ 32768     		y = 0.601837158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479339599609375 × 2 - 1) × π
    -0.04132080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12981312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601837158203125 × 2 - 1) × π
    -0.20367431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.639861736128509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12981312} λ = -0.12981312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.639861736128509))-π/2
    2×atan(0.527365334575334)-π/2
    2×0.48529945153968-π/2
    0.970598903079359-1.57079632675     		φ = -0.60019742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12981312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.437744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60019742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.388779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15707 KachelY 19721 -0.12981312 -0.60019742 -7.437744 -34.388779
    Oben rechts KachelX + 1 15708 KachelY 19721 -0.12962138 -0.60019742 -7.426758 -34.388779
    Unten links KachelX 15707 KachelY + 1 19722 -0.12981312 -0.60035565 -7.437744 -34.397845
    Unten rechts KachelX + 1 15708 KachelY + 1 19722 -0.12962138 -0.60035565 -7.426758 -34.397845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60019742--0.60035565) × R
    0.000158230000000037 × 6371000     		dl = 1008.08333000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60019742--0.60035565) × R
    0.000158230000000037 × 6371000     		dr = 1008.08333000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12981312--0.12962138) × cos(-0.60019742) × R
    0.000191739999999996 × 0.825224127109719 × 6371000     		do = 1008.07360869506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12981312--0.12962138) × cos(-0.60035565) × R
    0.000191739999999996 × 0.825134747621168 × 6371000     		du = 1007.96442489807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60019742)-sin(-0.60035565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825224127109719-0.825134747621168)×R²
    abs(-0.12962138--0.12981312)×8.93794885504784e-05×R²
    0.000191739999999996×8.93794885504784e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.93794885504784e-05×40589641000000     		ar = 1016167.16927597m²