Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15706 / 9815
↖ ↑ ↗
← N 77.361891°
W 93.724365°		 ← 133.64 m → N 77.361891°
W 93.718872°		 →
↑
133.66 m
↓
↑
133.66 m
↓
N 77.360689°
W 93.724365°		 ← 133.65 m →
17 863 m²		 N 77.360689°
W 93.718872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.239662170410156 y=0.149772644042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.239662170410156 × 216)
    floor (0.239662170410156 × 65536)
    floor (15706.5)     		tx = 15706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149772644042969 × 216)
    floor (0.149772644042969 × 65536)
    floor (9815.5)     		ty = 9815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15706 / 9815 ti = "16/15706/9815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15706/9815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15706 ÷ 216
    15706 ÷ 65536     		x = 0.239654541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9815 ÷ 216
    9815 ÷ 65536     		y = 0.149765014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.239654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.52069091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.63579876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149765014648438 × 2 - 1) × π
    0.700469970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2005913139583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63579876} λ = -1.63579876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2005913139583))-π/2
    2×atan(9.0303516940091)-π/2
    2×1.46050801925817-π/2
    2.92101603851634-1.57079632675     		φ = 1.35021971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63579876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.724365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35021971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.361891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15706 KachelY 9815 -1.63579876 1.35021971 -93.724365 77.361891
    Oben rechts KachelX + 1 15707 KachelY 9815 -1.63570289 1.35021971 -93.718872 77.361891
    Unten links KachelX 15706 KachelY + 1 9816 -1.63579876 1.35019873 -93.724365 77.360689
    Unten rechts KachelX + 1 15707 KachelY + 1 9816 -1.63570289 1.35019873 -93.718872 77.360689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35021971-1.35019873) × R
    2.09799999999483e-05 × 6371000     		dl = 133.66357999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35021971-1.35019873) × R
    2.09799999999483e-05 × 6371000     		dr = 133.66357999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63579876--1.63570289) × cos(1.35021971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21879230562982 × 6371000     		do = 133.635664448793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63579876--1.63570289) × cos(1.35019873) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218812777266734 × 6371000     		du = 133.648168274252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35021971)-sin(1.35019873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21879230562982-0.218812777266734)×R²
    abs(-1.63570289--1.63579876)×2.04716369144875e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.04716369144875e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.04716369144875e-05×40589641000000     		ar = 17863.0569794298m²