Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15705 / 9707
↖ ↑ ↗
← N 58.933004°
W  7.459717°		 ← 630.41 m → N 58.933004°
W  7.448730°		 →
↑
630.41 m
↓
↑
630.41 m
↓
N 58.927335°
W  7.459717°		 ← 630.52 m →
397 453 m²		 N 58.927335°
W  7.448730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479293823242188 y=0.296249389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479293823242188 × 215)
    floor (0.479293823242188 × 32768)
    floor (15705.5)     		tx = 15705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296249389648438 × 215)
    floor (0.296249389648438 × 32768)
    floor (9707.5)     		ty = 9707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15705 / 9707 ti = "15/15705/9707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15705/9707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15705 ÷ 215
    15705 ÷ 32768     		x = 0.479278564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9707 ÷ 215
    9707 ÷ 32768     		y = 0.296234130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479278564453125 × 2 - 1) × π
    -0.04144287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13019662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296234130859375 × 2 - 1) × π
    0.40753173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28029871505246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13019662} λ = -0.13019662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28029871505246))-π/2
    2×atan(3.59771425647487)-π/2
    2×1.29968564467829-π/2
    2.59937128935659-1.57079632675     		φ = 1.02857496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13019662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.459717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02857496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.933004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15705 KachelY 9707 -0.13019662 1.02857496 -7.459717 58.933004
    Oben rechts KachelX + 1 15706 KachelY 9707 -0.13000487 1.02857496 -7.448730 58.933004
    Unten links KachelX 15705 KachelY + 1 9708 -0.13019662 1.02847601 -7.459717 58.927335
    Unten rechts KachelX + 1 15706 KachelY + 1 9708 -0.13000487 1.02847601 -7.448730 58.927335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02857496-1.02847601) × R
    9.8949999999931e-05 × 6371000     		dl = 630.410449999561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02857496-1.02847601) × R
    9.8949999999931e-05 × 6371000     		dr = 630.410449999561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13019662--0.13000487) × cos(1.02857496) × R
    0.000191750000000018 × 0.516040007176756 × 6371000     		do = 630.414727337467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13019662--0.13000487) × cos(1.02847601) × R
    0.000191750000000018 × 0.516124761705763 × 6371000     		du = 630.518266796718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02857496)-sin(1.02847601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516040007176756-0.516124761705763)×R²
    abs(-0.13000487--0.13019662)×8.47545290072471e-05×R²
    0.000191750000000018×8.47545290072471e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.47545290072471e-05×40589641000000     		ar = 397452.668449613m²