Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15704 / 9816
↖ ↑ ↗
← N 77.360689°
W 93.735352°		 ← 133.65 m → N 77.360689°
W 93.729859°		 →
↑
133.66 m
↓
↑
133.66 m
↓
N 77.359487°
W 93.735352°		 ← 133.66 m →
17 865 m²		 N 77.359487°
W 93.729859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.239631652832031 y=0.149787902832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.239631652832031 × 216)
    floor (0.239631652832031 × 65536)
    floor (15704.5)     		tx = 15704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149787902832031 × 216)
    floor (0.149787902832031 × 65536)
    floor (9816.5)     		ty = 9816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15704 / 9816 ti = "16/15704/9816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15704/9816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15704 ÷ 216
    15704 ÷ 65536     		x = 0.2396240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9816 ÷ 216
    9816 ÷ 65536     		y = 0.1497802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2396240234375 × 2 - 1) × π
    -0.520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.63599051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1497802734375 × 2 - 1) × π
    0.700439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20049544015906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63599051} λ = -1.63599051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20049544015906))-π/2
    2×atan(9.02948596138492)-π/2
    2×1.46049753054285-π/2
    2.9209950610857-1.57079632675     		φ = 1.35019873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63599051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.735352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35019873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.360689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15704 KachelY 9816 -1.63599051 1.35019873 -93.735352 77.360689
    Oben rechts KachelX + 1 15705 KachelY 9816 -1.63589464 1.35019873 -93.729859 77.360689
    Unten links KachelX 15704 KachelY + 1 9817 -1.63599051 1.35017775 -93.735352 77.359487
    Unten rechts KachelX + 1 15705 KachelY + 1 9817 -1.63589464 1.35017775 -93.729859 77.359487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35019873-1.35017775) × R
    2.09799999999483e-05 × 6371000     		dl = 133.66357999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35019873-1.35017775) × R
    2.09799999999483e-05 × 6371000     		dr = 133.66357999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63599051--1.63589464) × cos(1.35019873) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218812777266734 × 6371000     		do = 133.648168274252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63599051--1.63589464) × cos(1.35017775) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218833248807336 × 6371000     		du = 133.660672040885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35019873)-sin(1.35017775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218812777266734-0.218833248807336)×R²
    abs(-1.63589464--1.63599051)×2.04715406017519e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.04715406017519e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.04715406017519e-05×40589641000000     		ar = 17864.7282818211m²