Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15704 / 19272
↖ ↑ ↗
← S 30.221102°
W  7.470703°		 ← 1 055.61 m → S 30.221102°
W  7.459717°		 →
↑
1 055.55 m
↓
↑
1 055.55 m
↓
S 30.230595°
W  7.470703°		 ← 1 055.50 m →
1 114 188 m²		 S 30.230595°
W  7.459717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479263305664062 y=0.588150024414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479263305664062 × 215)
    floor (0.479263305664062 × 32768)
    floor (15704.5)     		tx = 15704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588150024414062 × 215)
    floor (0.588150024414062 × 32768)
    floor (19272.5)     		ty = 19272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15704 / 19272 ti = "15/15704/19272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15704/19272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15704 ÷ 215
    15704 ÷ 32768     		x = 0.479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19272 ÷ 215
    19272 ÷ 32768     		y = 0.588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479248046875 × 2 - 1) × π
    -0.04150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13038837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.17626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.553767064410889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13038837} λ = -0.13038837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553767064410889))-π/2
    2×atan(0.574780491829646)-π/2
    2×0.521669297951068-π/2
    1.04333859590214-1.57079632675     		φ = -0.52745773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13038837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52745773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.221102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15704 KachelY 19272 -0.13038837 -0.52745773 -7.470703 -30.221102
    Oben rechts KachelX + 1 15705 KachelY 19272 -0.13019662 -0.52745773 -7.459717 -30.221102
    Unten links KachelX 15704 KachelY + 1 19273 -0.13038837 -0.52762341 -7.470703 -30.230595
    Unten rechts KachelX + 1 15705 KachelY + 1 19273 -0.13019662 -0.52762341 -7.459717 -30.230595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52745773--0.52762341) × R
    0.000165680000000057 × 6371000     		dl = 1055.54728000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52745773--0.52762341) × R
    0.000165680000000057 × 6371000     		dr = 1055.54728000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13038837--0.13019662) × cos(-0.52745773) × R
    0.000191749999999991 × 0.864089483159158 × 6371000     		do = 1055.60562813939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13038837--0.13019662) × cos(-0.52762341) × R
    0.000191749999999991 × 0.864006078223454 × 6371000     		du = 1055.50373739629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52745773)-sin(-0.52762341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864089483159158-0.864006078223454)×R²
    abs(-0.13019662--0.13038837)×8.34049357040234e-05×R²
    0.000191749999999991×8.34049357040234e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.34049357040234e-05×40589641000000     		ar = 1114187.87683599m²