Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1570 / 1581
↖ ↑ ↗
← S 69.472968°
E 95.976562°		 ← 6 853.78 m → S 69.472968°
E 96.152344°		 →
↑
6 843.98 m
↓
↑
6 843.98 m
↓
S 69.534518°
E 95.976562°		 ← 6 834.11 m →
46 839 862 m²		 S 69.534518°
E 96.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766845703125 y=0.772216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766845703125 × 211)
    floor (0.766845703125 × 2048)
    floor (1570.5)     		tx = 1570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772216796875 × 211)
    floor (0.772216796875 × 2048)
    floor (1581.5)     		ty = 1581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1570 / 1581 ti = "11/1570/1581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1570/1581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1570 ÷ 211
    1570 ÷ 2048     		x = 0.7666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1581 ÷ 211
    1581 ÷ 2048     		y = 0.77197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7666015625 × 2 - 1) × π
    0.533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67510702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77197265625 × 2 - 1) × π
    -0.5439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70885459765576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67510702} λ = 1.67510702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70885459765576))-π/2
    2×atan(0.181073075408414)-π/2
    2×0.179132142315025-π/2
    0.358264284630051-1.57079632675     		φ = -1.21253204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67510702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21253204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.472968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1570 KachelY 1581 1.67510702 -1.21253204 95.976562 -69.472968
    Oben rechts KachelX + 1 1571 KachelY 1581 1.67817498 -1.21253204 96.152344 -69.472968
    Unten links KachelX 1570 KachelY + 1 1582 1.67510702 -1.21360628 95.976562 -69.534518
    Unten rechts KachelX + 1 1571 KachelY + 1 1582 1.67817498 -1.21360628 96.152344 -69.534518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21253204--1.21360628) × R
    0.00107424000000012 × 6371000     		dl = 6843.98304000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21253204--1.21360628) × R
    0.00107424000000012 × 6371000     		dr = 6843.98304000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67510702-1.67817498) × cos(-1.21253204) × R
    0.00306796000000009 × 0.350649254967064 × 6371000     		do = 6853.78092616044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67510702-1.67817498) × cos(-1.21360628) × R
    0.00306796000000009 × 0.349643019707478 × 6371000     		du = 6834.11307878393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21253204)-sin(-1.21360628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350649254967064-0.349643019707478)×R²
    abs(1.67817498-1.67510702)×0.00100623525958582×R²
    0.00306796000000009×0.00100623525958582×6371000²
    0.00306796000000009×0.00100623525958582×40589641000000     		ar = 46839861.7159973m²