Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 157 / 285
↖ ↑ ↗
← N 62.103883°
W124.804688°		 ← 18.290 km → N 62.103883°
W124.453125°		 →
↑
18.340 km
↓
↑
18.340 km
↓
N 61.938950°
W124.804688°		 ← 18.389 km →
336.342 km²		 N 61.938950°
W124.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15380859375 y=0.27880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15380859375 × 210)
    floor (0.15380859375 × 1024)
    floor (157.5)     		tx = 157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27880859375 × 210)
    floor (0.27880859375 × 1024)
    floor (285.5)     		ty = 285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 157 / 285 ti = "10/157/285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/157/285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 157 ÷ 210
    157 ÷ 1024     		x = 0.1533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 285 ÷ 210
    285 ÷ 1024     		y = 0.2783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1533203125 × 2 - 1) × π
    -0.693359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.17825272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2783203125 × 2 - 1) × π
    0.443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.39285455536035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17825272} λ = -2.17825272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39285455536035))-π/2
    2×atan(4.02632703778487)-π/2
    2×1.3273567775363-π/2
    2.6547135550726-1.57079632675     		φ = 1.08391723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17825272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.804688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08391723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.103883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 157 KachelY 285 -2.17825272 1.08391723 -124.804688 62.103883
    Oben rechts KachelX + 1 158 KachelY 285 -2.17211680 1.08391723 -124.453125 62.103883
    Unten links KachelX 157 KachelY + 1 286 -2.17825272 1.08103862 -124.804688 61.938950
    Unten rechts KachelX + 1 158 KachelY + 1 286 -2.17211680 1.08103862 -124.453125 61.938950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08391723-1.08103862) × R
    0.00287861 × 6371000     		dl = 18339.62431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08391723-1.08103862) × R
    0.00287861 × 6371000     		dr = 18339.62431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17825272--2.17211680) × cos(1.08391723) × R
    0.00613592000000018 × 0.467869925240023 × 6371000     		do = 18289.946002226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17825272--2.17211680) × cos(1.08103862) × R
    0.00613592000000018 × 0.470412091102688 × 6371000     		du = 18389.3242136658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08391723)-sin(1.08103862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467869925240023-0.470412091102688)×R²
    abs(-2.17211680--2.17825272)×0.00254216586266487×R²
    0.00613592000000018×0.00254216586266487×6371000²
    0.00613592000000018×0.00254216586266487×40589641000000     		ar = 336342250.117669m²