Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 157 / 274
↖ ↑ ↗
← N 63.860036°
W124.804688°		 ← 17.223 km → N 63.860036°
W124.453125°		 →
↑
17.270 km
↓
↑
17.270 km
↓
N 63.704723°
W124.804688°		 ← 17.318 km →
298.256 km²		 N 63.704723°
W124.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15380859375 y=0.26806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15380859375 × 210)
    floor (0.15380859375 × 1024)
    floor (157.5)     		tx = 157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26806640625 × 210)
    floor (0.26806640625 × 1024)
    floor (274.5)     		ty = 274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 157 / 274 ti = "10/157/274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/157/274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 157 ÷ 210
    157 ÷ 1024     		x = 0.1533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 274 ÷ 210
    274 ÷ 1024     		y = 0.267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1533203125 × 2 - 1) × π
    -0.693359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.17825272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267578125 × 2 - 1) × π
    0.46484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46034971002539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17825272} λ = -2.17825272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46034971002539))-π/2
    2×atan(4.30746562889508)-π/2
    2×1.34268210679646-π/2
    2.68536421359292-1.57079632675     		φ = 1.11456789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17825272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.804688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11456789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.860036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 157 KachelY 274 -2.17825272 1.11456789 -124.804688 63.860036
    Oben rechts KachelX + 1 158 KachelY 274 -2.17211680 1.11456789 -124.453125 63.860036
    Unten links KachelX 157 KachelY + 1 275 -2.17825272 1.11185716 -124.804688 63.704723
    Unten rechts KachelX + 1 158 KachelY + 1 275 -2.17211680 1.11185716 -124.453125 63.704723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11456789-1.11185716) × R
    0.00271072999999999 × 6371000     		dl = 17270.06083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11456789-1.11185716) × R
    0.00271072999999999 × 6371000     		dr = 17270.06083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17825272--2.17211680) × cos(1.11456789) × R
    0.00613592000000018 × 0.44056543883997 × 6371000     		do = 17222.5604855799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17825272--2.17211680) × cos(1.11185716) × R
    0.00613592000000018 × 0.442997295098646 × 6371000     		du = 17317.626479902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11456789)-sin(1.11185716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44056543883997-0.442997295098646)×R²
    abs(-2.17211680--2.17825272)×0.00243185625867659×R²
    0.00613592000000018×0.00243185625867659×6371000²
    0.00613592000000018×0.00243185625867659×40589641000000     		ar = 298255747.620124m²