Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15697 / 19182
↖ ↑ ↗
← S 29.363027°
W  7.547607°		 ← 1 064.70 m → S 29.363027°
W  7.536621°		 →
↑
1 064.66 m
↓
↑
1 064.66 m
↓
S 29.372602°
W  7.547607°		 ← 1 064.60 m →
1 133 483 m²		 S 29.372602°
W  7.536621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479049682617188 y=0.585403442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479049682617188 × 215)
    floor (0.479049682617188 × 32768)
    floor (15697.5)     		tx = 15697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585403442382812 × 215)
    floor (0.585403442382812 × 32768)
    floor (19182.5)     		ty = 19182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15697 / 19182 ti = "15/15697/19182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15697/19182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15697 ÷ 215
    15697 ÷ 32768     		x = 0.479034423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19182 ÷ 215
    19182 ÷ 32768     		y = 0.58538818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479034423828125 × 2 - 1) × π
    -0.04193115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13173060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58538818359375 × 2 - 1) × π
    -0.1707763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.536509780547669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13173060} λ = -0.13173060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536509780547669))-π/2
    2×atan(0.584785725205581)-π/2
    2×0.529157413323409-π/2
    1.05831482664682-1.57079632675     		φ = -0.51248150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13173060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.547607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51248150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.363027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15697 KachelY 19182 -0.13173060 -0.51248150 -7.547607 -29.363027
    Oben rechts KachelX + 1 15698 KachelY 19182 -0.13153885 -0.51248150 -7.536621 -29.363027
    Unten links KachelX 15697 KachelY + 1 19183 -0.13173060 -0.51264861 -7.547607 -29.372602
    Unten rechts KachelX + 1 15698 KachelY + 1 19183 -0.13153885 -0.51264861 -7.536621 -29.372602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51248150--0.51264861) × R
    0.000167109999999915 × 6371000     		dl = 1064.65780999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51248150--0.51264861) × R
    0.000167109999999915 × 6371000     		dr = 1064.65780999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13173060--0.13153885) × cos(-0.51248150) × R
    0.000191749999999991 × 0.871530409940769 × 6371000     		do = 1064.69575635218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13173060--0.13153885) × cos(-0.51264861) × R
    0.000191749999999991 × 0.871448456811184 × 6371000     		du = 1064.59563919242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51248150)-sin(-0.51264861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871530409940769-0.871448456811184)×R²
    abs(-0.13153885--0.13173060)×8.19531295852549e-05×R²
    0.000191749999999991×8.19531295852549e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.19531295852549e-05×40589641000000     		ar = 1133483.359653m²