Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15695 / 7342
↖ ↑ ↗
← N 69.967967°
W  7.569580°		 ← 418.47 m → N 69.967967°
W  7.558594°		 →
↑
418.51 m
↓
↑
418.51 m
↓
N 69.964204°
W  7.569580°		 ← 418.54 m →
175 149 m²		 N 69.964204°
W  7.558594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478988647460938 y=0.224075317382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478988647460938 × 215)
    floor (0.478988647460938 × 32768)
    floor (15695.5)     		tx = 15695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224075317382812 × 215)
    floor (0.224075317382812 × 32768)
    floor (7342.5)     		ty = 7342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15695 / 7342 ti = "15/15695/7342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15695/7342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15695 ÷ 215
    15695 ÷ 32768     		x = 0.478973388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7342 ÷ 215
    7342 ÷ 32768     		y = 0.22406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478973388671875 × 2 - 1) × π
    -0.04205322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13211410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22406005859375 × 2 - 1) × π
    0.5518798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73378178545819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13211410} λ = -0.13211410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73378178545819))-π/2
    2×atan(5.66202603828702)-π/2
    2×1.39598386318312-π/2
    2.79196772636624-1.57079632675     		φ = 1.22117140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13211410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.569580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22117140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.967967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15695 KachelY 7342 -0.13211410 1.22117140 -7.569580 69.967967
    Oben rechts KachelX + 1 15696 KachelY 7342 -0.13192235 1.22117140 -7.558594 69.967967
    Unten links KachelX 15695 KachelY + 1 7343 -0.13211410 1.22110571 -7.569580 69.964204
    Unten rechts KachelX + 1 15696 KachelY + 1 7343 -0.13192235 1.22110571 -7.558594 69.964204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22117140-1.22110571) × R
    6.56900000000071e-05 × 6371000     		dl = 418.510990000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22117140-1.22110571) × R
    6.56900000000071e-05 × 6371000     		dr = 418.510990000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13211410--0.13192235) × cos(1.22117140) × R
    0.000191750000000018 × 0.342545449810102 × 6371000     		do = 418.466966396966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13211410--0.13192235) × cos(1.22110571) × R
    0.000191750000000018 × 0.34260716490866 × 6371000     		du = 418.542359983681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22117140)-sin(1.22110571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342545449810102-0.34260716490866)×R²
    abs(-0.13192235--0.13211410)×6.17150985577353e-05×R²
    0.000191750000000018×6.17150985577353e-05×6371000²
    0.000191750000000018×6.17150985577353e-05×40589641000000     		ar = 175148.800974745m²