Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15695 / 19798
↖ ↑ ↗
← S 35.083956°
W  7.569580°		 ← 999.68 m → S 35.083956°
W  7.558594°		 →
↑
999.61 m
↓
↑
999.61 m
↓
S 35.092945°
W  7.569580°		 ← 999.57 m →
999 235 m²		 S 35.092945°
W  7.558594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478988647460938 y=0.604202270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478988647460938 × 215)
    floor (0.478988647460938 × 32768)
    floor (15695.5)     		tx = 15695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604202270507812 × 215)
    floor (0.604202270507812 × 32768)
    floor (19798.5)     		ty = 19798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15695 / 19798 ti = "15/15695/19798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15695/19798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15695 ÷ 215
    15695 ÷ 32768     		x = 0.478973388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19798 ÷ 215
    19798 ÷ 32768     		y = 0.60418701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478973388671875 × 2 - 1) × π
    -0.04205322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13211410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60418701171875 × 2 - 1) × π
    -0.2083740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.654626301211487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13211410} λ = -0.13211410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.654626301211487))-π/2
    2×atan(0.519636213731304)-π/2
    2×0.4792328936642-π/2
    0.958465787328399-1.57079632675     		φ = -0.61233054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13211410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.569580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61233054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.083956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15695 KachelY 19798 -0.13211410 -0.61233054 -7.569580 -35.083956
    Oben rechts KachelX + 1 15696 KachelY 19798 -0.13192235 -0.61233054 -7.558594 -35.083956
    Unten links KachelX 15695 KachelY + 1 19799 -0.13211410 -0.61248744 -7.569580 -35.092945
    Unten rechts KachelX + 1 15696 KachelY + 1 19799 -0.13192235 -0.61248744 -7.558594 -35.092945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61233054--0.61248744) × R
    0.000156900000000015 × 6371000     		dl = 999.609900000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61233054--0.61248744) × R
    0.000156900000000015 × 6371000     		dr = 999.609900000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13211410--0.13192235) × cos(-0.61233054) × R
    0.000191750000000018 × 0.818310702599634 × 6371000     		do = 999.680472990885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13211410--0.13192235) × cos(-0.61248744) × R
    0.000191750000000018 × 0.818220510153545 × 6371000     		du = 999.570290358689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61233054)-sin(-0.61248744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.818310702599634-0.818220510153545)×R²
    abs(-0.13192235--0.13211410)×9.01924460885439e-05×R²
    0.000191750000000018×9.01924460885439e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.01924460885439e-05×40589641000000     		ar = 999235.429864007m²