Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15692 / 19797
↖ ↑ ↗
← S 35.074965°
W  7.602539°		 ← 999.79 m → S 35.074965°
W  7.591553°		 →
↑
999.74 m
↓
↑
999.74 m
↓
S 35.083956°
W  7.602539°		 ← 999.68 m →
999 473 m²		 S 35.083956°
W  7.591553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478897094726562 y=0.604171752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478897094726562 × 215)
    floor (0.478897094726562 × 32768)
    floor (15692.5)     		tx = 15692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604171752929688 × 215)
    floor (0.604171752929688 × 32768)
    floor (19797.5)     		ty = 19797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15692 / 19797 ti = "15/15692/19797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15692/19797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15692 ÷ 215
    15692 ÷ 32768     		x = 0.4788818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19797 ÷ 215
    19797 ÷ 32768     		y = 0.604156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4788818359375 × 2 - 1) × π
    -0.042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13268934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.604156494140625 × 2 - 1) × π
    -0.20831298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.654434553613007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13268934} λ = -0.13268934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.654434553613007))-π/2
    2×atan(0.51973586228075)-π/2
    2×0.479311352543398-π/2
    0.958622705086795-1.57079632675     		φ = -0.61217362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13268934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61217362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.074965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15692 KachelY 19797 -0.13268934 -0.61217362 -7.602539 -35.074965
    Oben rechts KachelX + 1 15693 KachelY 19797 -0.13249759 -0.61217362 -7.591553 -35.074965
    Unten links KachelX 15692 KachelY + 1 19798 -0.13268934 -0.61233054 -7.602539 -35.083956
    Unten rechts KachelX + 1 15693 KachelY + 1 19798 -0.13249759 -0.61233054 -7.591553 -35.083956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61217362--0.61233054) × R
    0.000156920000000005 × 6371000     		dl = 999.737320000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61217362--0.61233054) × R
    0.000156920000000005 × 6371000     		dr = 999.737320000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13268934--0.13249759) × cos(-0.61217362) × R
    0.000191749999999991 × 0.818400886393823 × 6371000     		do = 999.790645053436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13268934--0.13249759) × cos(-0.61233054) × R
    0.000191749999999991 × 0.818310702599634 × 6371000     		du = 999.68047299074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61217362)-sin(-0.61233054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.818400886393823-0.818310702599634)×R²
    abs(-0.13249759--0.13268934)×9.01837941892358e-05×R²
    0.000191749999999991×9.01837941892358e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.01837941892358e-05×40589641000000     		ar = 999472.950536346m²