Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15691 / 8505
↖ ↑ ↗
← N 65.104524°
W  7.613526°		 ← 514.27 m → N 65.104524°
W  7.602539°		 →
↑
514.33 m
↓
↑
514.33 m
↓
N 65.099898°
W  7.613526°		 ← 514.36 m →
264 526 m²		 N 65.099898°
W  7.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478866577148438 y=0.259567260742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478866577148438 × 215)
    floor (0.478866577148438 × 32768)
    floor (15691.5)     		tx = 15691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259567260742188 × 215)
    floor (0.259567260742188 × 32768)
    floor (8505.5)     		ty = 8505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15691 / 8505 ti = "15/15691/8505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15691/8505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15691 ÷ 215
    15691 ÷ 32768     		x = 0.478851318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8505 ÷ 215
    8505 ÷ 32768     		y = 0.259552001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478851318359375 × 2 - 1) × π
    -0.04229736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13288109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259552001953125 × 2 - 1) × π
    0.48089599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51077932842569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13288109} λ = -0.13288109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51077932842569))-π/2
    2×atan(4.53025997931618)-π/2
    2×1.35354231212435-π/2
    2.7070846242487-1.57079632675     		φ = 1.13628830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13288109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.613526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13628830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.104524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15691 KachelY 8505 -0.13288109 1.13628830 -7.613526 65.104524
    Oben rechts KachelX + 1 15692 KachelY 8505 -0.13268934 1.13628830 -7.602539 65.104524
    Unten links KachelX 15691 KachelY + 1 8506 -0.13288109 1.13620757 -7.613526 65.099898
    Unten rechts KachelX + 1 15692 KachelY + 1 8506 -0.13268934 1.13620757 -7.602539 65.099898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13628830-1.13620757) × R
    8.07299999998623e-05 × 6371000     		dl = 514.330829999123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13628830-1.13620757) × R
    8.07299999998623e-05 × 6371000     		dr = 514.330829999123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13288109--0.13268934) × cos(1.13628830) × R
    0.000191750000000018 × 0.420964194624736 × 6371000     		do = 514.266382998266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13288109--0.13268934) × cos(1.13620757) × R
    0.000191750000000018 × 0.421037421599684 × 6371000     		du = 514.355839945021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13628830)-sin(1.13620757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420964194624736-0.421037421599684)×R²
    abs(-0.13268934--0.13288109)×7.32269749482151e-05×R²
    0.000191750000000018×7.32269749482151e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.32269749482151e-05×40589641000000     		ar = 264526.06098453m²