Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15690 / 19225
↖ ↑ ↗
← S 29.773914°
W  7.624512°		 ← 1 060.32 m → S 29.773914°
W  7.613526°		 →
↑
1 060.33 m
↓
↑
1 060.33 m
↓
S 29.783450°
W  7.624512°		 ← 1 060.22 m →
1 124 228 m²		 S 29.783450°
W  7.613526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478836059570312 y=0.586715698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478836059570312 × 215)
    floor (0.478836059570312 × 32768)
    floor (15690.5)     		tx = 15690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586715698242188 × 215)
    floor (0.586715698242188 × 32768)
    floor (19225.5)     		ty = 19225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15690 / 19225 ti = "15/15690/19225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15690/19225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15690 ÷ 215
    15690 ÷ 32768     		x = 0.47882080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19225 ÷ 215
    19225 ÷ 32768     		y = 0.586700439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47882080078125 × 2 - 1) × π
    -0.0423583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13307283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586700439453125 × 2 - 1) × π
    -0.17340087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.544754927282318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13307283} λ = -0.13307283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544754927282318))-π/2
    2×atan(0.579983904155771)-π/2
    2×0.52557174928592-π/2
    1.05114349857184-1.57079632675     		φ = -0.51965283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13307283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.624512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51965283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.773914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15690 KachelY 19225 -0.13307283 -0.51965283 -7.624512 -29.773914
    Oben rechts KachelX + 1 15691 KachelY 19225 -0.13288109 -0.51965283 -7.613526 -29.773914
    Unten links KachelX 15690 KachelY + 1 19226 -0.13307283 -0.51981926 -7.624512 -29.783450
    Unten rechts KachelX + 1 15691 KachelY + 1 19226 -0.13288109 -0.51981926 -7.613526 -29.783450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51965283--0.51981926) × R
    0.000166430000000051 × 6371000     		dl = 1060.32553000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51965283--0.51981926) × R
    0.000166430000000051 × 6371000     		dr = 1060.32553000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13307283--0.13288109) × cos(-0.51965283) × R
    0.000191739999999996 × 0.867991629253815 × 6371000     		do = 1060.31734322119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13307283--0.13288109) × cos(-0.51981926) × R
    0.000191739999999996 × 0.867908971618773 × 6371000     		du = 1060.21637067602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51965283)-sin(-0.51981926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867991629253815-0.867908971618773)×R²
    abs(-0.13288109--0.13307283)×8.26576350424491e-05×R²
    0.000191739999999996×8.26576350424491e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.26576350424491e-05×40589641000000     		ar = 1124228.01963077m²