Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1569 / 1585
↖ ↑ ↗
← S 69.718107°
E 95.800781°		 ← 6 775.40 m → S 69.718107°
E 95.976562°		 →
↑
6 765.68 m
↓
↑
6 765.68 m
↓
S 69.778952°
E 95.800781°		 ← 6 755.93 m →
45 774 348 m²		 S 69.778952°
E 95.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766357421875 y=0.774169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766357421875 × 211)
    floor (0.766357421875 × 2048)
    floor (1569.5)     		tx = 1569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774169921875 × 211)
    floor (0.774169921875 × 2048)
    floor (1585.5)     		ty = 1585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1569 / 1585 ti = "11/1569/1585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1569/1585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1569 ÷ 211
    1569 ÷ 2048     		x = 0.76611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1585 ÷ 211
    1585 ÷ 2048     		y = 0.77392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76611328125 × 2 - 1) × π
    0.5322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67203906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77392578125 × 2 - 1) × π
    -0.5478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7211264439585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67203906} λ = 1.67203906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7211264439585))-π/2
    2×atan(0.17886455349473)-π/2
    2×0.176992908328252-π/2
    0.353985816656504-1.57079632675     		φ = -1.21681051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67203906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21681051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.718107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1569 KachelY 1585 1.67203906 -1.21681051 95.800781 -69.718107
    Oben rechts KachelX + 1 1570 KachelY 1585 1.67510702 -1.21681051 95.976562 -69.718107
    Unten links KachelX 1569 KachelY + 1 1586 1.67203906 -1.21787246 95.800781 -69.778952
    Unten rechts KachelX + 1 1570 KachelY + 1 1586 1.67510702 -1.21787246 95.976562 -69.778952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21681051--1.21787246) × R
    0.00106194999999998 × 6371000     		dl = 6765.68344999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21681051--1.21787246) × R
    0.00106194999999998 × 6371000     		dr = 6765.68344999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67203906-1.67510702) × cos(-1.21681051) × R
    0.00306796000000009 × 0.346639241317444 × 6371000     		do = 6775.40130699373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67203906-1.67510702) × cos(-1.21787246) × R
    0.00306796000000009 × 0.345642938510007 × 6371000     		du = 6755.92759906033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21681051)-sin(-1.21787246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346639241317444-0.345642938510007)×R²
    abs(1.67510702-1.67203906)×0.0009963028074369×R²
    0.00306796000000009×0.0009963028074369×6371000²
    0.00306796000000009×0.0009963028074369×40589641000000     		ar = 45774348.3198962m²