Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15688 / 9882
↖ ↑ ↗
← N 57.926517°
W  7.646484°		 ← 648.70 m → N 57.926517°
W  7.635498°		 →
↑
648.76 m
↓
↑
648.76 m
↓
N 57.920683°
W  7.646484°		 ← 648.80 m →
420 883 m²		 N 57.920683°
W  7.635498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478775024414062 y=0.301589965820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478775024414062 × 215)
    floor (0.478775024414062 × 32768)
    floor (15688.5)     		tx = 15688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301589965820312 × 215)
    floor (0.301589965820312 × 32768)
    floor (9882.5)     		ty = 9882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15688 / 9882 ti = "15/15688/9882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15688/9882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15688 ÷ 215
    15688 ÷ 32768     		x = 0.478759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9882 ÷ 215
    9882 ÷ 32768     		y = 0.30157470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478759765625 × 2 - 1) × π
    -0.04248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13345633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30157470703125 × 2 - 1) × π
    0.3968505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24674288531842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13345633} λ = -0.13345633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24674288531842))-π/2
    2×atan(3.47899300425507)-π/2
    2×1.29090238880955-π/2
    2.58180477761911-1.57079632675     		φ = 1.01100845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13345633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.646484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01100845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.926517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15688 KachelY 9882 -0.13345633 1.01100845 -7.646484 57.926517
    Oben rechts KachelX + 1 15689 KachelY 9882 -0.13326458 1.01100845 -7.635498 57.926517
    Unten links KachelX 15688 KachelY + 1 9883 -0.13345633 1.01090662 -7.646484 57.920683
    Unten rechts KachelX + 1 15689 KachelY + 1 9883 -0.13326458 1.01090662 -7.635498 57.920683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01100845-1.01090662) × R
    0.000101829999999969 × 6371000     		dl = 648.758929999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01100845-1.01090662) × R
    0.000101829999999969 × 6371000     		dr = 648.758929999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13345633--0.13326458) × cos(1.01100845) × R
    0.000191750000000018 × 0.531006463501848 × 6371000     		do = 648.698337817612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13345633--0.13326458) × cos(1.01090662) × R
    0.000191750000000018 × 0.531092748208507 × 6371000     		du = 648.803746601942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01100845)-sin(1.01090662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531006463501848-0.531092748208507)×R²
    abs(-0.13326458--0.13345633)×8.62847066592787e-05×R²
    0.000191750000000018×8.62847066592787e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.62847066592787e-05×40589641000000     		ar = 420883.032344435m²