Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15688 / 19224
↖ ↑ ↗
← S 29.764377°
W  7.646484°		 ← 1 060.47 m → S 29.764377°
W  7.635498°		 →
↑
1 060.45 m
↓
↑
1 060.45 m
↓
S 29.773914°
W  7.646484°		 ← 1 060.37 m →
1 124 529 m²		 S 29.773914°
W  7.635498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478775024414062 y=0.586685180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478775024414062 × 215)
    floor (0.478775024414062 × 32768)
    floor (15688.5)     		tx = 15688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586685180664062 × 215)
    floor (0.586685180664062 × 32768)
    floor (19224.5)     		ty = 19224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15688 / 19224 ti = "15/15688/19224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15688/19224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15688 ÷ 215
    15688 ÷ 32768     		x = 0.478759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19224 ÷ 215
    19224 ÷ 32768     		y = 0.586669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478759765625 × 2 - 1) × π
    -0.04248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13345633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586669921875 × 2 - 1) × π
    -0.17333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.544563179683838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13345633} λ = -0.13345633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544563179683838))-π/2
    2×atan(0.580095125339407)-π/2
    2×0.525654970902852-π/2
    1.0513099418057-1.57079632675     		φ = -0.51948638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13345633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.646484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51948638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.764377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15688 KachelY 19224 -0.13345633 -0.51948638 -7.646484 -29.764377
    Oben rechts KachelX + 1 15689 KachelY 19224 -0.13326458 -0.51948638 -7.635498 -29.764377
    Unten links KachelX 15688 KachelY + 1 19225 -0.13345633 -0.51965283 -7.646484 -29.773914
    Unten rechts KachelX + 1 15689 KachelY + 1 19225 -0.13326458 -0.51965283 -7.635498 -29.773914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51948638--0.51965283) × R
    0.000166449999999929 × 6371000     		dl = 1060.45294999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51948638--0.51965283) × R
    0.000166449999999929 × 6371000     		dr = 1060.45294999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13345633--0.13326458) × cos(-0.51948638) × R
    0.000191750000000018 × 0.868074272775093 × 6371000     		do = 1060.47360353736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13345633--0.13326458) × cos(-0.51965283) × R
    0.000191750000000018 × 0.867991629253815 × 6371000     		du = 1060.37264296801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51948638)-sin(-0.51965283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868074272775093-0.867991629253815)×R²
    abs(-0.13326458--0.13345633)×8.26435212771814e-05×R²
    0.000191750000000018×8.26435212771814e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.26435212771814e-05×40589641000000     		ar = 1124528.8318973m²