Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15687 / 9703
↖ ↑ ↗
← N 58.955674°
W  7.657471°		 ← 630 m → N 58.955674°
W  7.646484°		 →
↑
630.03 m
↓
↑
630.03 m
↓
N 58.950008°
W  7.657471°		 ← 630.10 m →
396 951 m²		 N 58.950008°
W  7.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478744506835938 y=0.296127319335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478744506835938 × 215)
    floor (0.478744506835938 × 32768)
    floor (15687.5)     		tx = 15687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296127319335938 × 215)
    floor (0.296127319335938 × 32768)
    floor (9703.5)     		ty = 9703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15687 / 9703 ti = "15/15687/9703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15687/9703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15687 ÷ 215
    15687 ÷ 32768     		x = 0.478729248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9703 ÷ 215
    9703 ÷ 32768     		y = 0.296112060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478729248046875 × 2 - 1) × π
    -0.04254150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13364808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296112060546875 × 2 - 1) × π
    0.40777587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28106570544638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13364808} λ = -0.13364808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28106570544638))-π/2
    2×atan(3.60047472724161)-π/2
    2×1.29988347854324-π/2
    2.59976695708648-1.57079632675     		φ = 1.02897063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13364808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.657471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02897063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.955674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15687 KachelY 9703 -0.13364808 1.02897063 -7.657471 58.955674
    Oben rechts KachelX + 1 15688 KachelY 9703 -0.13345633 1.02897063 -7.646484 58.955674
    Unten links KachelX 15687 KachelY + 1 9704 -0.13364808 1.02887174 -7.657471 58.950008
    Unten rechts KachelX + 1 15688 KachelY + 1 9704 -0.13345633 1.02887174 -7.646484 58.950008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02897063-1.02887174) × R
    9.88900000000736e-05 × 6371000     		dl = 630.028190000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02897063-1.02887174) × R
    9.88900000000736e-05 × 6371000     		dr = 630.028190000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13364808--0.13345633) × cos(1.02897063) × R
    0.000191749999999991 × 0.515701049922942 × 6371000     		do = 630.000643852044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13364808--0.13345633) × cos(1.02887174) × R
    0.000191749999999991 × 0.515785773247683 × 6371000     		du = 630.104145190939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02897063)-sin(1.02887174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515701049922942-0.515785773247683)×R²
    abs(-0.13345633--0.13364808)×8.47233247411872e-05×R²
    0.000191749999999991×8.47233247411872e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.47233247411872e-05×40589641000000     		ar = 396950.770049196m²