Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15685 / 19829
↖ ↑ ↗
← S 35.362176°
W  7.679443°		 ← 996.26 m → S 35.362176°
W  7.668457°		 →
↑
996.23 m
↓
↑
996.23 m
↓
S 35.371135°
W  7.679443°		 ← 996.15 m →
992 451 m²		 S 35.371135°
W  7.668457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478683471679688 y=0.605148315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478683471679688 × 215)
    floor (0.478683471679688 × 32768)
    floor (15685.5)     		tx = 15685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.605148315429688 × 215)
    floor (0.605148315429688 × 32768)
    floor (19829.5)     		ty = 19829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15685 / 19829 ti = "15/15685/19829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15685/19829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15685 ÷ 215
    15685 ÷ 32768     		x = 0.478668212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19829 ÷ 215
    19829 ÷ 32768     		y = 0.605133056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478668212890625 × 2 - 1) × π
    -0.04266357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13403157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.605133056640625 × 2 - 1) × π
    -0.21026611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.660570476764374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13403157} λ = -0.13403157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.660570476764374))-π/2
    2×atan(0.516556566901761)-π/2
    2×0.476804961954135-π/2
    0.953609923908269-1.57079632675     		φ = -0.61718640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13403157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.679443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61718640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.362176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15685 KachelY 19829 -0.13403157 -0.61718640 -7.679443 -35.362176
    Oben rechts KachelX + 1 15686 KachelY 19829 -0.13383982 -0.61718640 -7.668457 -35.362176
    Unten links KachelX 15685 KachelY + 1 19830 -0.13403157 -0.61734277 -7.679443 -35.371135
    Unten rechts KachelX + 1 15686 KachelY + 1 19830 -0.13383982 -0.61734277 -7.668457 -35.371135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61718640--0.61734277) × R
    0.000156370000000017 × 6371000     		dl = 996.233270000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61718640--0.61734277) × R
    0.000156370000000017 × 6371000     		dr = 996.233270000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13403157--0.13383982) × cos(-0.61718640) × R
    0.000191749999999991 × 0.815510033564098 × 6371000     		do = 996.25906577067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13403157--0.13383982) × cos(-0.61734277) × R
    0.000191749999999991 × 0.815419525561421 × 6371000     		du = 996.148497642161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61718640)-sin(-0.61734277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.815510033564098-0.815419525561421)×R²
    abs(-0.13383982--0.13403157)×9.05080026767369e-05×R²
    0.000191749999999991×9.05080026767369e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.05080026767369e-05×40589641000000     		ar = 992451.353058152m²