Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15685 / 16700
↖ ↑ ↗
← N 79.007057°
W136.919861°		 ← 58.23 m → N 79.007057°
W136.917114°		 →
↑
58.23 m
↓
↑
58.23 m
↓
N 79.006533°
W136.919861°		 ← 58.23 m →
3 391 m²		 N 79.006533°
W136.917114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119670867919922 y=0.127414703369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119670867919922 × 217)
    floor (0.119670867919922 × 131072)
    floor (15685.5)     		tx = 15685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127414703369141 × 217)
    floor (0.127414703369141 × 131072)
    floor (16700.5)     		ty = 16700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15685 / 16700 ti = "17/15685/16700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15685/16700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15685 ÷ 217
    15685 ÷ 131072     		x = 0.119667053222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16700 ÷ 217
    16700 ÷ 131072     		y = 0.127410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119667053222656 × 2 - 1) × π
    -0.760665893554688 × 3.1415926535     		Λ = -2.38970238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127410888671875 × 2 - 1) × π
    0.74517822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34104642984506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38970238} λ = -2.38970238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34104642984506))-π/2
    2×atan(10.3921054842899)-π/2
    2×1.47486480465831-π/2
    2.94972960931662-1.57079632675     		φ = 1.37893328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38970238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.919861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37893328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.007057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15685 KachelY 16700 -2.38970238 1.37893328 -136.919861 79.007057
    Oben rechts KachelX + 1 15686 KachelY 16700 -2.38965445 1.37893328 -136.917114 79.007057
    Unten links KachelX 15685 KachelY + 1 16701 -2.38970238 1.37892414 -136.919861 79.006533
    Unten rechts KachelX + 1 15686 KachelY + 1 16701 -2.38965445 1.37892414 -136.917114 79.006533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37893328-1.37892414) × R
    9.13999999996307e-06 × 6371000     		dl = 58.2309399997647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37893328-1.37892414) × R
    9.13999999996307e-06 × 6371000     		dr = 58.2309399997647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38970238--2.38965445) × cos(1.37893328) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.190688086001782 × 6371000     		do = 58.2289010383544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38970238--2.38965445) × cos(1.37892414) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.190697058281015 × 6371000     		du = 58.2316408317546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37893328)-sin(1.37892414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190688086001782-0.190697058281015)×R²
    abs(-2.38965445--2.38970238)×8.97227923285504e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.97227923285504e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.97227923285504e-06×40589641000000     		ar = 3390.80341317471m²