Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15684 / 9869
↖ ↑ ↗
← N 58.002277°
W  7.690430°		 ← 647.33 m → N 58.002277°
W  7.679443°		 →
↑
647.36 m
↓
↑
647.36 m
↓
N 57.996455°
W  7.690430°		 ← 647.43 m →
419 087 m²		 N 57.996455°
W  7.679443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478652954101562 y=0.301193237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478652954101562 × 215)
    floor (0.478652954101562 × 32768)
    floor (15684.5)     		tx = 15684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301193237304688 × 215)
    floor (0.301193237304688 × 32768)
    floor (9869.5)     		ty = 9869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15684 / 9869 ti = "15/15684/9869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15684/9869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15684 ÷ 215
    15684 ÷ 32768     		x = 0.4786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9869 ÷ 215
    9869 ÷ 32768     		y = 0.301177978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13422332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301177978515625 × 2 - 1) × π
    0.39764404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24923560409866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13422332} λ = -0.13422332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24923560409866))-π/2
    2×atan(3.48767597305673)-π/2
    2×1.29156351503014-π/2
    2.58312703006029-1.57079632675     		φ = 1.01233070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13422332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.690430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01233070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.002277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15684 KachelY 9869 -0.13422332 1.01233070 -7.690430 58.002277
    Oben rechts KachelX + 1 15685 KachelY 9869 -0.13403157 1.01233070 -7.679443 58.002277
    Unten links KachelX 15684 KachelY + 1 9870 -0.13422332 1.01222909 -7.690430 57.996455
    Unten rechts KachelX + 1 15685 KachelY + 1 9870 -0.13403157 1.01222909 -7.679443 57.996455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01233070-1.01222909) × R
    0.000101609999999974 × 6371000     		dl = 647.357309999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01233070-1.01222909) × R
    0.000101609999999974 × 6371000     		dr = 647.357309999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13422332--0.13403157) × cos(1.01233070) × R
    0.000191750000000018 × 0.529885567604747 × 6371000     		do = 647.32900739455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13422332--0.13403157) × cos(1.01222909) × R
    0.000191750000000018 × 0.529971737175628 × 6371000     		du = 647.434275524493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01233070)-sin(1.01222909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529885567604747-0.529971737175628)×R²
    abs(-0.13403157--0.13422332)×8.61695708805899e-05×R²
    0.000191750000000018×8.61695708805899e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.61695708805899e-05×40589641000000     		ar = 419087.2383192m²