Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15684 / 6565
↖ ↑ ↗
← N 72.695571°
W  7.690430°		 ← 363.37 m → N 72.695571°
W  7.679443°		 →
↑
363.40 m
↓
↑
363.40 m
↓
N 72.692303°
W  7.690430°		 ← 363.44 m →
132 063 m²		 N 72.692303°
W  7.679443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478652954101562 y=0.200363159179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478652954101562 × 215)
    floor (0.478652954101562 × 32768)
    floor (15684.5)     		tx = 15684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200363159179688 × 215)
    floor (0.200363159179688 × 32768)
    floor (6565.5)     		ty = 6565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15684 / 6565 ti = "15/15684/6565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15684/6565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15684 ÷ 215
    15684 ÷ 32768     		x = 0.4786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6565 ÷ 215
    6565 ÷ 32768     		y = 0.200347900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13422332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200347900390625 × 2 - 1) × π
    0.59930419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.88276966947733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13422332} λ = -0.13422332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88276966947733))-π/2
    2×atan(6.5716810639939)-π/2
    2×1.41978669827128-π/2
    2.83957339654255-1.57079632675     		φ = 1.26877707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13422332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.690430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26877707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.695571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15684 KachelY 6565 -0.13422332 1.26877707 -7.690430 72.695571
    Oben rechts KachelX + 1 15685 KachelY 6565 -0.13403157 1.26877707 -7.679443 72.695571
    Unten links KachelX 15684 KachelY + 1 6566 -0.13422332 1.26872003 -7.690430 72.692303
    Unten rechts KachelX + 1 15685 KachelY + 1 6566 -0.13403157 1.26872003 -7.679443 72.692303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26877707-1.26872003) × R
    5.70399999999527e-05 × 6371000     		dl = 363.401839999699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26877707-1.26872003) × R
    5.70399999999527e-05 × 6371000     		dr = 363.401839999699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13422332--0.13403157) × cos(1.26877707) × R
    0.000191750000000018 × 0.297448672570943 × 6371000     		do = 363.374973273097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13422332--0.13403157) × cos(1.26872003) × R
    0.000191750000000018 × 0.297503130331752 × 6371000     		du = 363.441501011168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26877707)-sin(1.26872003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297448672570943-0.297503130331752)×R²
    abs(-0.13403157--0.13422332)×5.44577608091457e-05×R²
    0.000191750000000018×5.44577608091457e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.44577608091457e-05×40589641000000     		ar = 132063.222084463m²