Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15683 / 7366
↖ ↑ ↗
← N 69.877452°
W  7.701416°		 ← 420.28 m → N 69.877452°
W  7.690430°		 →
↑
420.29 m
↓
↑
420.29 m
↓
N 69.873672°
W  7.701416°		 ← 420.36 m →
176 657 m²		 N 69.873672°
W  7.690430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478622436523438 y=0.224807739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478622436523438 × 215)
    floor (0.478622436523438 × 32768)
    floor (15683.5)     		tx = 15683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224807739257812 × 215)
    floor (0.224807739257812 × 32768)
    floor (7366.5)     		ty = 7366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15683 / 7366 ti = "15/15683/7366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15683/7366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15683 ÷ 215
    15683 ÷ 32768     		x = 0.478607177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7366 ÷ 215
    7366 ÷ 32768     		y = 0.22479248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478607177734375 × 2 - 1) × π
    -0.04278564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13441507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22479248046875 × 2 - 1) × π
    0.5504150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72917984309467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13441507} λ = -0.13441507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72917984309467))-π/2
    2×atan(5.63602958376984)-π/2
    2×1.39519396996792-π/2
    2.79038793993585-1.57079632675     		φ = 1.21959161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13441507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.701416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21959161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.877452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15683 KachelY 7366 -0.13441507 1.21959161 -7.701416 69.877452
    Oben rechts KachelX + 1 15684 KachelY 7366 -0.13422332 1.21959161 -7.690430 69.877452
    Unten links KachelX 15683 KachelY + 1 7367 -0.13441507 1.21952564 -7.701416 69.873672
    Unten rechts KachelX + 1 15684 KachelY + 1 7367 -0.13422332 1.21952564 -7.690430 69.873672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21959161-1.21952564) × R
    6.59699999998598e-05 × 6371000     		dl = 420.294869999106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21959161-1.21952564) × R
    6.59699999998598e-05 × 6371000     		dr = 420.294869999106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13441507--0.13422332) × cos(1.21959161) × R
    0.000191749999999991 × 0.344029236434484 × 6371000     		do = 420.279618375875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13441507--0.13422332) × cos(1.21952564) × R
    0.000191749999999991 × 0.344091178806867 × 6371000     		du = 420.355289609216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21959161)-sin(1.21952564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344029236434484-0.344091178806867)×R²
    abs(-0.13422332--0.13441507)×6.19423723827728e-05×R²
    0.000191749999999991×6.19423723827728e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.19423723827728e-05×40589641000000     		ar = 176657.269747909m²