Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15683 / 6567
↖ ↑ ↗
← N 72.689034°
W  7.701416°		 ← 363.51 m → N 72.689034°
W  7.690430°		 →
↑
363.53 m
↓
↑
363.53 m
↓
N 72.685765°
W  7.701416°		 ← 363.57 m →
132 158 m²		 N 72.685765°
W  7.690430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478622436523438 y=0.200424194335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478622436523438 × 215)
    floor (0.478622436523438 × 32768)
    floor (15683.5)     		tx = 15683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200424194335938 × 215)
    floor (0.200424194335938 × 32768)
    floor (6567.5)     		ty = 6567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15683 / 6567 ti = "15/15683/6567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15683/6567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15683 ÷ 215
    15683 ÷ 32768     		x = 0.478607177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6567 ÷ 215
    6567 ÷ 32768     		y = 0.200408935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478607177734375 × 2 - 1) × π
    -0.04278564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13441507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200408935546875 × 2 - 1) × π
    0.59918212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88238617428036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13441507} λ = -0.13441507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88238617428036))-π/2
    2×atan(6.56916133905199)-π/2
    2×1.41972965276011-π/2
    2.83945930552022-1.57079632675     		φ = 1.26866298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13441507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.701416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26866298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.689034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15683 KachelY 6567 -0.13441507 1.26866298 -7.701416 72.689034
    Oben rechts KachelX + 1 15684 KachelY 6567 -0.13422332 1.26866298 -7.690430 72.689034
    Unten links KachelX 15683 KachelY + 1 6568 -0.13441507 1.26860592 -7.701416 72.685765
    Unten rechts KachelX + 1 15684 KachelY + 1 6568 -0.13422332 1.26860592 -7.690430 72.685765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26866298-1.26860592) × R
    5.70600000000532e-05 × 6371000     		dl = 363.529260000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26866298-1.26860592) × R
    5.70600000000532e-05 × 6371000     		dr = 363.529260000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13441507--0.13422332) × cos(1.26866298) × R
    0.000191749999999991 × 0.297557596671655 × 6371000     		do = 363.508039229745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13441507--0.13422332) × cos(1.26860592) × R
    0.000191749999999991 × 0.297612071589966 × 6371000     		du = 363.574587928094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26866298)-sin(1.26860592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297557596671655-0.297612071589966)×R²
    abs(-0.13422332--0.13441507)×5.44749183106208e-05×R²
    0.000191749999999991×5.44749183106208e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.44749183106208e-05×40589641000000     		ar = 132157.904740657m²